Movimento Circular Uniforme

O movimento circular uniforme (MCU) é aquele no qual um móvel percorre uma trajetória circular, com velocidade de módulo constante (por isso uniforme).

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Trata-se de um movimento periódico, pois o móvel passará várias vezes pelo mesmo ponto. Assim, é necessário introduzir algumas definições:

O período, denotado por T, é o intervalo de tempo que o corpo leva para completar uma volta em seu movimento. Sua unidade do Sistema Internacional (SI), e a mais usual nos problemas, é o segundo (s), mas pode ser dado em quaisquer unidades de tempo (minutos, horas, dias etc).

Por exemplo, o período do movimento de rotação da Terra é de 24 horas. O período do movimento de translação da Terra (ao redor do Sol) é de 365 dias, ou 1 ano. O período do ponteiro dos segundos em um relógio é de 1 minuto.

A frequência é o número de voltas que é dado em um intervalo de tempo. Para a mesma unidade de tempo considerada, temos que a frequência é o inverso do período.

\[ f=\dfrac{1}{T} \]

No sistema internacional, a unidade é Hertz (Hz), equivalente a 1/s ou s^-1.

Uma outra unidade muito utilizada é rotações por minuto (rpm). Para realizar a conversão entre elas, basta fazer uma regra de três simples: se em um minuto faz x rotações, em um segundo fará x/60 rotações (voltas), ou seja, x/60 Hz.

\[ 1\qquad Hz = 60 \qquad ou \qquad 1 \qquad rpm = \frac{1}{60} \qquad Hz \]

A frequência do motor de um automóvel é em torno de 1000 a 5000 rpm, a frequência de uma rádio FM é perto de 100 MHz (100 x 10⁶ Hz).

A velocidade angular é bem similar à frequência. Contudo, em vez de medir o número de voltas por segundo, mede o número de radianos percorridos em 1 segundo.

Ou seja, é uma medida do ângulo que o móvel girou na trajetória no intervalo de tempo considerado. Como cada volta tem \(2\pi\) radianos, pode-se fazer a equivalência:

\[ \omega = 2 \qquad \pi \qquad f  \]

\[ [rad/s]\qquad [Hz]  \]

Além disso, também pode-se escrever a velocidade angular como o deslocamento angular dividido pelo intervalo de tempo:

\[ \omega = \frac{\Delta \theta}{\Delta t} \]

No movimento circular uniforme (MCU), também há a velocidade linear (escalar), que se relaciona com a velocidade angular de acordo com o raio da trajetória:

\[ V=\omega \qquad R \]

Com \(\omega\) e R no sistema internacional (rad/s e metros), a velocidade linear será dada em metros/segundo. Além disso, como \(\omega= 2\pi\ f\), pode-se reescrever a velocidade como:

 \[ V=2 \qquad \pi \qquad R \qquad f \]

Apesar do módulo da velocidade não variar no Movimento Circular Uniforme, sua direção varia (está girando). Assim, há aceleração no MCU!

Em um movimento curvilíneo genérico, podem haver duas acelerações, a tangencial e a centrípeta.

Representação da força centrípeta.

• Aceleração tangencial: é responsável por alterar o módulo da velocidade. Assim, ela está sempre na mesma direção da velocidade instantânea (direção tangencial), no mesmo sentido (acelerando) ou em sentido oposto (retardando, como na figura acima). No MCU ela não está presente, pois o módulo da velocidade não se altera.
• Aceleração centrípeta: está sempre normal (perpendicular) à tangencial e à velocidade, e sua função é alterar a direção do vetor velocidade. Ela está sempre apontando para o centro de curvatura da trajetória (direção radial, no caso do MCU, para o centro da circunferência).  

Utilizando um pouco de cinemática vetorial, é possível determinar o valor da aceleração centrípeta (única aceleração presente em um MCU):

O triângulo ABC é isósceles com ângulo \(\theta\), assim como o triângulo das velocidades (V₁ = V₂), pois a velocidade é constante. Para um movimento qualquer, pode-se considerar que, em um intervalo infinitesimal de tempo, não houve variação de velocidade).

Assim, pela semelhança dos dois triângulos, e sabendo a expressão da aceleração vetorial média:

\[ \dfrac{|\Delta \vec{V}|}{AB}=\dfrac{|\vec{V_{1}|}}{R}\] 

 \[ |\vec{a}_{m}|= \dfrac{|\Delta \vec{V}|}{\Delta t} \]

Contudo, considerando um intervalo de tempo muito pequeno (infinitesimal, tendendo a zero), o ângulo \(\theta\) será muito pequeno. Assim, o segmento de reta AB será igual ao arco AB. Por sua vez, esse arco é dado por \(\nu.\Delta\tau\)  (velocidade escalar vezes o tempo = deslocamento escalar). Além disso, V₁ = V = constante (MCU).

Então, recuperando a equação da semelhança dos triângulos:

\[ \dfrac{|\Delta \vec{V}|}{V \cdot \Delta t}=\dfrac{|\vec{V|}}{R}\qquad \xrightarrow{}\qquad \dfrac{|\Delta \vec{V}|}{V \cdot \Delta t}=\dfrac{V}{R}\qquad \xrightarrow{}\qquad \dfrac{|\Delta \vec{V}|}{\Delta t}=\dfrac{V^{2}}{R} \]

Como o lado esquerdo da equação é igual ao módulo da aceleração vetorial média:

\[ |\vec{a}_{m}|= |\vec{a}_{cp}|=\dfrac{V^{2}}{R} \]

A direção da aceleração centrípeta é radial, e o sentido é apontando para o centro da circunferência da trajetória. Como uma aceleração, sua unidade no Sistema Internacional é m/s².

É possível perceber que, quanto maior a velocidade ao fazer uma curva, maior a aceleração centrípeta necessária, e quanto maior o raio, menor a centrípeta. É muito importante lembrar dessa fórmula, aplicada diretamente nos problemas, e das relações de proporcionalidade que ela guarda.

A função horária para o movimento circular uniforme é muito similar à do MRU, basta substituir S por \(\theta\) e V \(\omega\) por Portanto:

\[ \theta = \theta_{0} + \omega \qquad t \]

Exemplo: um móvel percorre uma circunferência de raio 2 metros com velocidade angular constante de \(\omega=4 \pi\)  rad/s. Determine:

• frequência;
• período;
• velocidade linear;
• qual ângulo, em graus, o móvel percorreu em 0,1 segundo;
• aceleração resultante nesse movimento.

Resolução:

• Como \[ \omega=2 \pi f \], basta fazer: \[ 4 \qquad\pi=2 \qquad\pi \cdot f \qquad\xrightarrow{}\qquad f=2 \qquad Hz \]
• \[f=\frac{1}{T}\qquad\xrightarrow{}\qquad 2=\frac{1}{T}\qquad \xrightarrow{}\qquad T=\frac{1}{2}=0,5 \qquad s \]
• \[ V=\omega R \qquad \xrightarrow{}\qquad V=4 \pi \cdot 2 \qquad\xrightarrow{}\qquad V=8 \pi \qquad m/s \]
• \[ \theta - \theta_{0}=\Delta \theta = \omega t \qquad \xrightarrow{}\qquad\Delta \theta=4 \pi \cdot 0,1 =0,8 \pi \qquad rad \] Fazendo a transformação de radianos para graus:   \[ 0,4 \pi \qquad rad \times \frac{180°}{\pi} = 72º \]
• A aceleração resultante no MCU é a aceleração centrípeta, logo: \[ a=\frac{V^{2}}{R}= \frac{(8 \pi)^{2} }{2} \qquad\xrightarrow{}\qquad{15} a=\frac{64 \pi^{2}}{2}=32 \pi^{2} \qquad m/s^{2}  \]

Em um carro, ônibus ou bicicleta, por exemplo, se movendo com velocidade V, essa velocidade é denominada velocidade de translação.

O centro da roda, que não está girando, também translada com velocidade V. Contudo, os pontos da periferia da roda apresentam, além dessa velocidade de translação, uma velocidade relativa de rotação.

Em verde, estão a velocidade de translação,e em vermelho, a velocidade relativa de rotação, de mesmo módulo, porém direções diferentes em cada ponto

Em verde, estão a velocidade de translação (mesmos módulo, direção e sentido para todos os pontos), e em vermelho, a velocidade relativa de rotação, de mesmo módulo, porém direções diferentes em cada ponto (sempre tangencial).

Como as duas velocidades têm sempre módulo V (MCU), é fácil determinar a velocidade resultante em cada um desses pontos:

Ao marcar um ponto fixo de uma roda, e acompanhar sua trajetória ao se mover, ele determinará uma curva conhecida como ciclóide.

Neste último gráfico, os pontos em que a ciclóide toca no eixo horizontal correspondem ao instante em que o ponto considerado está encostando no chão, e está com velocidade nula.