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Matemática

Círculo trigonométrico

Marcus Vinicius
Publicado por Marcus Vinicius
Última atualização: 22/10/2018

Introdução

 Considere, no plano cartesiano, uma circunferência de raio de tamanho 1 e centrada na origem. Isto é, seu centro é o ponto de coordenadas (0,0) conforme a figura a seguir.

Fixemos o ponto \( A(1,0)\) e, a partir dele, tomemos pontos da circunferência no sentido anti-horário como ilustra-se abaixo.

Observe que, para cada ponto da circunferência, forma-se um ângulo \( \theta=A\hat{O}P\) que é central, isto é, tem vértice no centro do círculo. Com isso, o valor de sua medida é igual a do arco \( \stackrel \frown{AP}\) correspondente.

A partir disso, vamos considerar a seguinte aplicação que associa um número real ao tamanho de um arco na circunferência definida acima. Para isso, tomemos \( x\) um número real:

  • se \( x>0\), tomaremos o ponto \( P\) no círculo construído anteriormente de tal modo que a medida do arco \( \stackrel \frown{AP}\) seja igual ao valor de \( x\), isto é

$$ \stackrel \frown{AP} = x$$

  • se \( x<0\), vamos tomar \( P’\) simétrico a \( P\) em relação ao eixo \( x\), conforme a figura seguir de modo que o tamanho do arco \( \stackrel \frown{AP'}\) seja igual ao do arco \( \stackrel \frown{AP}\), onde \( P\) é o ponto correspondente ao número \( -x\) que é positivo, ou seja, se encaixa no item anterior.

            

  • e se \( x=0\), então \( P=A\), isto é: $$  \stackrel \frown{AP}\ =  \stackrel \frown{AA}=0 $$

A tal aplicação, damos o nome de círculo (ou ciclo) trigonométrico.

É importante observar que, por se tratar de um um círculo, então existirão números reais \( x\) e \( x’\), tais que, se \( P\) e \( P’\) forem os pontos correspondentes a \( x\) e \( x’\), respectivamente, então

$$  \stackrel \frown{AP}\ = \stackrel \frown{AP'}$$

Note, ainda, que o círculo trigonométrico está dividido em quatro partes: a cada uma delas damos o nome de quadrante. A partir do ponto \( A\), no sentido anti-horário, temos o 1º quadrante, 2º quadrante, 3º quadrante e 4º quadrante.

Funções trigonométricas

Função seno

Considere o ponto \( P\) no ciclo trigonométrico a seguir, de modo que \( A\hat{O}P=\theta\).

Como \( P\) é um ponto do plano cartesiano, então ele tem coordenadas em relação aos eixos \( x\) e \( y\), isto é:

$$ P(x_{P},y_{P})$$

Chamamos \( x_{P}\) e \( y_{P}\) de abscissa e ordenada de \( P\), respectivamente.

Evidentemente, \( x_{P}\) é o tamanho do segmento \( \bar{OM}\) e \( y_{P}\), do segmento \( \bar{ON}\).

Assim, temos o seguinte triângulo retângulo \( OMP\). Retângulo em \( M\) com as medidas dos lados indicadas na figura a seguir.

Além disso, sendo \( \bar{OP}\) a distância de \( P\) ao centro da circunferência, então \( OP=1\), pois equivale ao raio da mesma.

Deste modo, da trigonometria do triângulo retângulo, temos que:

$$ \sin\theta=\frac{MP}{OP}=\frac{y_{P}}{1}\Rightarrow\sin\theta=y_{P}$$

Ou seja, o seno de um ângulo \( \theta\) equivale à ordenada do ponto \( P\), correspondente a \( \theta\) no círculo trigonométrico.

Como pela aplicação definida como círculo trigonométrico, podemos associar qualquer ângulo a um ponto da circunferência. Então, pela construção acima, conseguimos calcular o seno de qualquer ângulo.

Função cosseno

Tomando novamente o triângulo \( OMP\), temos:

$$ \cos\theta=\frac{OM}{OP}=\frac{x_{P}}{1}\Rightarrow\cos\theta=x_{P}$$

Isto é, o cosseno de um ângulo \( \theta\) é o valor da abscissa do ponto \( P\), que corresponde a \( \theta\) no círculo trigonométrico.

Evidentemente, com tal construção, podemos determinar o cosseno de qualquer ângulo.

Função tangente

Consideremos, agora, a reta \( t\), tangente à circunferência no ponto \( A(1,0)\).

Aqui, prolongaremos o lado \( \bar{OP}\) até a reta \( t\) no ponto \( T\), de modo que os triângulos \( OMP\) e \( OAT\) sejam semelhantes:

É evidente que \( OA=1\). Assim, temos que

$$ \tan\theta=\frac{AT}{OA}=\frac{AT}{1}\Rightarrow\tan\theta=AT$$

Ou seja, a tangente de um ângulo qualquer corresponde ao tamanho do segmento \( \bar{AT}\), quando se prolonga um de seus lados até a reta \( t\).


Exercícios

Exercício 1
(MACKENZIE)

O maior valor que o número real \( \frac{10}{2-\frac{\sin x}{3}}\) pode assumir é:

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