PG - Progressão Geométrica

Uma progressão geométrica (PG) é uma sequência na qual cada termo, a partir do segundo, é igual ao produto do termo anterior por uma constante (a qual chamamos de razão da PG). 

Assim, para obter a razão de uma PG (q), temos que dividir termos consecutivos de uma sequência:

\(q=\frac{a_{n}}{a_{n-1}}\)

Quanto ao número de termos

• Limitadas: (2; 6; 18; 54; 162), onde, neste caso, \(a_{1}=2\) (primeiro termo), q=3(razão) e n=5 (número de termos).
• Ilimitadas: \((1; \ \frac{1}{3}; \ \frac{1}{9}; \ \frac{1}{27}, \ ...)\), onde, neste caso, \(a_{1}=1\), \(q=\frac{1}{3}\) e \(n=\infty\) .

Quanto à convergência

• Convergentes: os termos tendem a zero. 
• 
  
• \((1;\frac{1}{2};\frac{1}{4};\frac{1}{8},...)\), onde \(q=\frac{1}{2}\);
• \((-2; -1; -\frac{1}{2}; -\frac{1}{4};...)\), onde \(q=\frac{1}{2}\).
• Divergentes: os termos tendem a \(+\infty\)  ou \(-\infty\) .
• 
  
• (2; 4; 8; 16…), onde q=2;
• (-2; -4; -8; -16…). onde q=2.

Quanto ao crescimento dos termos

• Crescentes: \(a_{n+1}> a_{n}\)(o próximo termo é sempre maior que o anterior).
• 
  
• Quando temos \(a_{1}> 0 \ e \ q> 1\);
• Ou \(a_{1}<  0 \ e \ 0< q<  1\).
• Constantes ou estacionárias: \(a_{n+1}=a_{n}\)(o próximo termo é sempre igual ao anterior).
• 
  
• Quando temos q=1;
• Ou \(a_{1}=0\).
• Decrescentes: \(a_{n+1}< a_{n}\)(o próximo termo é sempre menor que o anterior).
• 
  
• Quando temos \(a_{1}> 0 \ e \ 0< q< 1\);
• Ou \(a_{1}<  0 \ e \ q>  1\).
• Alternantes: \(a_{n+1}> a_{n}< 0\) (os termos alternam entre positivo e negativo, ou seja, o próximo termo será sempre maior que o anterior quando este for menor que zero).
• 
  
• Quando temos \(a_{1}\neq 0 \ e \ q< 0\).
• Singulares: \(a_{n}=0\) para todo  \(n> 1\) (os termos sempre vão ser zero, exceto o primeiro).
• 
  
• Quando temos \(a_{1}\neq 0 \ e \ q= 0\).

A fórmula do termo geral da PG é:

    \(a_{n}=a_{1}\cdot q^{n-1} \ para \ n\geq 1\)

Exemplo 1: Obtenha o 10º e o 16º termo da PG (1; 2; 4; 8…).

Solução: temos que \(a_{1}=1\) e q=2, então:

\(a_{n}=a_{1}\cdot q^{n-1}\rightarrow a_{10}=1\cdot 2^{10-1}\rightarrow a_{10}=2^{9}\rightarrow a_{10}=512\)

\(a_{16}=1\cdot 2^{16-1}\rightarrow a_{16}=2^{15}\rightarrow a_{16}=32768\)

Exemplo 2: Calcule o valor de x, tal que (x-3; x+1; 2.x+3) formam uma PG.

Solução: usando a relação que envolve a razão da PG, temos:

\(\frac{x+1}{x-3}=\frac{2x+3}{x+1}\rightarrow (x+1)^{2}=(2x+3)(x-3)\rightarrow x^{2}+2x\cdot 1+1^{2}=2x^{2}-6x+3x-9\rightarrow x^{2}-5x-10=0\)

Temos uma equação de segundo grau, resolvendo por Bhaskara, chegamos no seguinte resultado:

\(x=\frac{5\pm \sqrt{65}}{2}\)

Vamos obter uma PG finita (a partir de interpolação geométrica) entre dois números “r” e “s”, sendo “r” o primeiro termo e “s” o termo de ordem n+2. Observe o desenho:

Dessa forma, aplicando a fórmula vista anteriormente:

\(a_{n+2}=a_{1}\cdot q^{(n+2)-1}\rightarrow s=r\cdot q^{n+1}\rightarrow q=\sqrt[n+1]{\frac{s}{r}}\)

Se uma PG tem três termos consecutivos (a; b; c), então:

\(b^{2}=a\cdot c\)

Caso contrário, a sequência não é uma PG.

Exemplo 3: Que número devemos subtrair de 3, 5 e 11 para que os resultados fique em PG?

Solução: para ficar em PG, devemos ter:

(3-x; 5-x; 11-x)

Pela propriedade da média geométrica:

\((5-x)^{2}=(3-x)(11-x)\rightarrow 5^{2}-2\cdot 5x+x^{2}=33-3x-11x+x^{2}\rightarrow 4x=8\rightarrow x=2\)

Dessa maneira, temos uma PG com q=3 (1; 3; 9).

A partir desta propriedade, sabemos que o produto de dois termos equidistantes dos extremos de uma PG é constante, e a soma dos índices dos termos é n+1.

\((a_{1}......a_{k}......a_{l}......a_{n})\)

k+l=n+1

\(a_{k}\cdot a_{l}=a_{1}\cdot a_{n}\)

A fórmula que mostra a soma dos n primeiros termos de uma PG é:

\(S_{n}=a_{1}\cdot \frac{(q^{n}-1)}{q-1}\)

Exemplo 4: Calcular a soma dos 10 termos iniciais da PG (1; 2; 4; 8…).

Solução: aplicando a fórmula, temos:

\(S_{n}=a_{1}\cdot \frac{(q^{n}-1)}{q-1}\rightarrow S_{10}=1\cdot \frac{(2^{10}-1)}{2-1}\rightarrow S_{10}=1023\)

Exemplo 5: Os extremos de uma progressão geométrica crescente são 1 e 243. Se a soma dos termos dessa progressão é 364, determine a razão e o número de termos da PG.

Solução: ilustrando a situação:

(1;..............;243)

Utilizando a fórmula do termo geral da PG: 

\(a_{n}=a_{1}\cdot q^{n-1}\rightarrow 243=q^{n-1}\rightarrow\) multiplicando por q dos dois lados\(\rightarrow 243q=q^{n-1}\cdot q\rightarrow 243q=q^{n}\)

Utilizando, agora, a fórmula da soma dos n primeiros termos da PG:

\(S_{n}=a_{1}\cdot \frac{(q^{n}-1)}{q-1}\rightarrow 364=1\cdot \frac{(243q-1)}{q-1}\rightarrow 364q-364=243q-1\rightarrow 121q=363\rightarrow q=3\)

Calculamos q. Determinando n:

\(q^{n}=243q\rightarrow 3^{n}=243\cdot 3=729\rightarrow 3^{n}=3^{6}\rightarrow n=6\)

Em uma PG infinita os termos vão aumentando e a sequência, então, diverge. Assim, não é possível calcular a soma dessa PG, uma vez que ela só aumenta cada vez mais, certo?

Contudo, em uma PG onde os termos convergem para algum número, nós conseguimos calcular a soma dos seus termos! Por exemplo, a PG \((1;\frac{1}{2};\frac{1}{4};\frac{1}{8};...) \) converge para zero.

Nesse sentido, a fórmula é:

\(S_{\infty }=\frac{a_{1}}{1-q}\)

A fórmula que permite calcular o produto dos n primeiros termos de uma PG é:

\(P_{n}=a_{1}^{n}\cdot q^{\frac{n(n-1)}{2}}\)

Muitas! A progressão geométrica é extensamente utilizada na medicina (cultura de bactérias), na estatística (gráficos e progressões), na física (movimentos progressivos), na geografia (crescimento populacional), entre outros. 

A PG (e também a PA, progressão aritmética), sem dúvidas, foi um artifício que auxiliou e auxilia no desenvolvimento da sociedade até hoje.