Radiciação | Propriedades, Termos e Questões de Radiciação

Você já ouviu falar sobre raiz quadrada? E raiz cúbica? Esses dois elementos são abordados na radiciação, uma importante e usual operação aritmética na matemática! 

De forma simples, o cálculo abrangendo esta operação envolve dois números, produzindo um único resultado. O operador da radiciação é chamado de radical (\(\sqrt{\ }\)) e os termos da radiciação são o índice do radical (o qual se localiza no canto superior esquerdo do radical) e o radicando (o qual é escrito dentro do radical).

Dessa forma, temos:

\(\sqrt[n]{a}=b\), sendo “n” o índice do radical, “a” o radicando e “b” o resultado (raiz enésima do número “a”)

A designação do nome da raiz é dada segundo o número “n”. Exemplos:

\(\sqrt[4]{\ }\rightarrow raiz \ quarta\)

\(\sqrt[5]{\ }\rightarrow raiz \ quinta\)

\(\sqrt[6]{\ }\rightarrow raiz \ sexta\)

São dois casos em que há a necessidade de destaque.

Quando n=1

Não existe a necessidade de indicar a radiciação, pois a raiz do número será o próprio número.

\(\sqrt[1]{a}=a, \ \sqrt[1]{2}=2, \ \sqrt[1]{-264}=-264\), assim por diante

Quando n=2

Não existe a necessidade de indicar o índice do radical. Assim, quando você se deparar com alguma raiz sem o índice do radical, pode ter certeza que ela é uma raiz quadrada (ou seja, n=2):

\(\sqrt[2]{a}=\sqrt{a}=b\), com “a” e “b” \(\geq 0\)

Além disso, neste caso, os números “a” e “b” devem ser não negativos e respeitar \(b^{2}=a\). 

Exemplos:

\(\sqrt{4}=2\), já que 2 e 4 são não negativos e \(2^{2}=4\) 

\(\sqrt{81}=9\), já que 9 e 81 são não negativos e \(9^{2}=81\)

Um detalhe importante é que, mesmo que os números negativos -2 e -9 satisfaçam as condições anteriores (\((-2)^{2}=4\) e \((-9)^{2}=81\)), eles não devem ser admitidos como respostas válidas, a fim de que a concepção geométrica do símbolo radical não seja contrariada. 

Neste sentido, a expressão \(\sqrt{25}=\pm 5\), por exemplo, está errada! O correto seria \(\sqrt{25}=5\). 

Note que esta situação é diferente de \(x^{2}=25\), pois nesse caso, temos uma equação quadrática, onde o x pode, sim, assumir tanto o valor de 5, quanto o valor de -5.

Novamente, temos dois casos para entender.

Quando n é par

Se “n” for par, os números “a” e “b” na expressão \(\sqrt[n]{a}=b\) devem ser não negativos e tais que \(b^{n}=a\).

\(\sqrt[4]{81}=3 \qquad \sqrt[6]{64}=2 \qquad \sqrt[8]{1}=1 \qquad \sqrt[10]{1024}=2\)

Quando n é ímpar

Já caso “n” seja ímpar, na mesma expressão os números “a” e “b” devem ter o mesmo sinal, respeitando \(b^{n}=a\).

\(\sqrt[3]{64}=4 \qquad \sqrt[3]{-64}=-4 \qquad \sqrt[5]{32}=2 \qquad \sqrt[5]{-32}=-2\)

Podemos manipular a radiciação de algumas formas para facilitar e ajudar nos cálculos durante a resolução de um exercício. Vamos ver de quais maneiras isso é permitido.

Em relação a divisão e multiplicação

Observe como podemos manipular a radiciação envolvendo a divisão e a multiplicação:

\(\sqrt[n]{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} \qquad \sqrt[n]{ab}=\sqrt[n]{a}\cdot \sqrt[n]{b}\)

Em relação a soma e subtração

Porém, no caso da soma e da subtração, nós devemos nos atentar ao seguinte:

\(\sqrt[n]{a+b}\neq \sqrt[n]{a}+\sqrt[n]{b} \qquad \sqrt[n]{a-b}\neq \sqrt[n]{a}-\sqrt[n]{b}\)

Assim, é preciso tomar cuidado com as raízes, a fim de que não seja feito algum cálculo errado envolvendo elas.

Raiz dentro de raiz

Outra propriedade da radiciação indica que no caso de uma raiz estar dentro da outra, basta multiplicar os índices dos radicais:

\(\sqrt[n]{\sqrt[m]{a}}=\sqrt[nm]{a}\)

Muitos exercícios demandam que o aluno saiba como transformar um valor em radiciação para potenciação. Vamos ver como se dá esse processo (não se preocupe, é bem fácil!).

\(\sqrt[n]{x^{p}}=x^{\frac{p}{n}}\)

Tranquilo, né? Essa é a relação entre as duas operações matemáticas. Para ficar mais fácil de lembrar, pense que o número que está “fora” na raiz fica “dentro” na potência (neste caso, o “n”) e o número que está “dentro” na raiz fica “fora” na potência (neste caso, o “p”).

Beleza, vimos as propriedades e definições da radiciação, mas como determinar o valor de uma raiz? 

A estratégia é basicamente dividir o radicando por números primos até obter como resultado o número 1. O passo a passo é este:

1º passo: Dividir seu radicando somente por números primos até obter o número 1. Como exemplo, vamos usar \(\sqrt[2]{400}\).

2º passo: Multiplicar de dois em dois os números de mesmo valor:

Obs. 1: caso fosse raiz cúbica, multiplicar de três em três e assim por diante.

Obs. 2: caso algum número primo “n” estivesse sozinho, ou seja, não fosse possível multiplicar ele com outro número de mesmo valor, adotar ele como raiz de “n”. Exemplo: \(\sqrt{10}\).