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As relações binárias são basicamente relações entre os elementos de dois conjuntos que seguem uma propriedade. Para entendermos completamente esse conceito precisamos nos familiarizar rapidamente com o conceito de par ordenado, plano cartesiano e produto cartesiano.
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Em matemática, uma relação binária em um conjunto A é uma relação que é estabelecida entre dois elementos distintos desse conjunto. Em outras palavras, é uma relação que associa pares ordenados de elementos de A. Cada par ordenado (a, b) na relação binária indica que há uma relação entre o elemento a e o elemento b.
Pode-se entender o par ordenado como uma coleção de dois elementos onde a ordem deles importa e eles podem ser iguais, diferentemente do que ocorre com os conjuntos.
Representamos o par ordenado como (a, b) e temos que (a, b) \(\ne\) (b, a), se a \(\ne\) b.
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O plano cartesiano é o plano definido por dois eixos perpendiculares entre si, o eixo x (das abscissas) e o eixo y (das ordenadas), que se cruzam na origem 0 = (0,0).
É possível associar os pontos neste plano a pares ordenados, onde o primeiro elemento do par ordenado corresponde à coordenada abscissa do ponto e o segundo à coordenada ordenada. Abaixo temos o plano cartesiano e alguns pontos com seus pares ordenados associados.
Dados dois conjuntos A e B, o produto cartesiano A x B é definido como o conjunto de todos os pares ordenados cujo primeiro elemento é pertencente a A e o segundo à B.
A x B = (a,b), a \(\in\) A e b \(\in\) B6
Se A e B forem conjuntos com um número finito de números, teremos que A x B será um conjunto de pontos. Se um dos dois conjuntos for um intervalo real teremos segmentos de reta ou retas. Se ambos forem intervalos reais teremos que A x B corresponde à regiões do plano.
Exemplo:
i) A = {2,5,7}; B = {2,4,8} \(\Rightarrow\)
A x B = {(2,2); (2,4); (2,8); (5,2); (5,4); (5,8); (7,2); (7,4); (7,8)}
Obs.: O produto A x A pode ser representado por A2.
ii) A = {1,2}; B = {b \(\in\) R| - 1 \(\le\) b \(\le\) 2} = [-1,2] \(Rightarrow\)
A x B = {(x,y) \(in\) \(R^{2}\) [x = 1 ou x = 2, -1 \(\le\) y \(\le\) 2}
iii) A = {a \(\in\) R|1 \(\le\) a \(\le\)2}; B = {b \(\in\) R| -1 \(\le\) b \(\le\) 2} = [-1,2] \(\Rightarrow\)
A x B = {(x,y) \(\in\) \(R^{2}\)| 1 \(\le\) x \(\le\) 2, -1 \(\le\) y \(\le\) 2}
É um produto cartesiano que possui uma propriedade.
R = {(x,y) \(\in\) A x B|\(\rho\) (x,y) é verdadeira}
Por exemplo:
A = {1,3,4}; B = {3,6,8}
A x B = {(1,3), (1,6), (1,8), (3,3), (3,8), (4,3), (4,6), (4,8)}
R = {(a, b) \(\in\) A x B y = 2x} \(\Rightarrow\) R = {(3,6); (4,8)}
Graficamente temos, com os pontos vermelhos representando A x B e as bolas azuis a relação R:
Outra maneira interessante de representar a relação binária graficamente é através do diagrama de flechas. As flechas indicam os elementos de A que se relacionam com B de acordo com a relação R. No exemplo anterior teríamos:
Sejam dois conjuntos não vazios A e B e seja R uma relação binária de A em B.
O domínio de R é o conjunto D de todas as abscissas (primeiros elementos) dos pares ordenados pertencentes a R. Graficamente no diagrama de flechas o domínio pode ser identificado como o conjunto de pontos de A dos quais partem flechas para elementos de B.
A imagem de R é o conjunto I de todas as ordenadas (segundos elementos) dos pares ordenados pertencentes a R. Graficamente no diagrama de flechas a imagem pode ser identificado como o conjunto de pontos de B nos quais chegam flechas advindas de elementos de A.
Exemplo: A = {2,4,6,8}; B = {1,3,5,7,9}; R = {(x,y) \(\epsilon\) A x B| x > y + 1}
Vemos no diagrama de flechas que o domínio e a imagem de R são:
\(D_{R}\) = {4,6,8}; \(I_{R}\) = {1,3,5}
Relação inversa
A relação inversa pode ser definida como:
\(R^{-1}\) = {(y, x) \(\in\) B x A| (x, y) \(\in\) R}
Mas simplesmente podemos ver que R-1 é o conjunto dos pares ordenados de R, porém com a ordem dos elementos trocados. Como estamos trocando as abscissas pelas ordenadas para obter R-1, podemos obter sua imagem no plano cartesiano refletindo a imagem de R em torno da bissetriz do primeiro quadrante.
Exemplo: Podemos obter o diagrama de flechas da relação inversa do exemplo acima:
Nota-se também que o domínio da relação inversa corresponde à imagem de R e vice-versa. Logo:
\(D_{R^{-1}} = I_{R}\) = {1,3,5}; \(I_{R^{-1}}\) = \(D_{R}\) = {4,6,8}
A relação R é dita reflexiva se todo elemento do domínio se relaciona com ele mesmo na imagem, ou seja, para todo a \(\in\) A, (a, a) \(\in\) R.
Exemplo:
A relação R = {(x, y) \(\in\) \(R^2\)|x é divisor de y} é reflexiva, pois x sempre divide ele mesmo. A relação R = {(x, y) \(in\) \(R^2\)|x < y} não é reflexiva, pois não teremos nenhum par ordenado do tipo (x, x).
Dizemos que Ré simétrica se dado que (a, b) \(in\) R há a implicação que (b, a) \(\in\) R.
Exemplo:
A relação R = {(x, y) \(\in\) \(R^2\)|x + y = 7} é simétrica, pois x + y = y + x, logo se (x, y) \(\in\) R temos que (y, x) \(\in\) R.
A relação R = {(x, y) \(\in\) \(R^2\)|y > x} não é simétrica, pois se (x, y) \(\in\) R dado que y > x, não poderíamos ter (y, x) \(\in\) R.
Dizemos que R é antissimétrica se dado que (a, b) \(\in\) R, com a \(\ne\) b, há a implicação que (b, a) \(\notin\) R.
Exemplo:
A relação R = {(x, y) \(\in\) \(R^{2}\)| y > x} é antissimétrica, pois se (x, y) \(\in\) Rdado que y > x, não poderíamos ter (y, x) \(\in\) R já que nesse caso deveríamos ter x > y.
A relação R = {(x, y) \(\in\) \(R^{2}\)| y + x = 7} não é antissimétrica, pois x + y = y + x, logo se (x, y) \(\in\) R, x \(\in\) y temos que (y, x) \(\in\) R.
Se (a, b), (b, c) \(\in\) R \(\Rightarrow\) (a,c) \(\in\) R dizemos que R é transitiva.
Exemplo:
A relação R = {(x, y) \(\in\) \(R^{2}\)| x = y} é transitiva pois se a = b e b = c, temos a = c.
A relação R = {(x, y) \(\in\) \(R^{2}\)| y = 2x} não é transitiva pois:
{b = 2a c = 2b \(\Rightarrow\) c = 2 (2a) = 4a \(\ne\) 2a.
A relação R pode ser dita de equivalência se for simultaneamente reflexiva, simétrica e transitiva.
A relação R pode ser dita de ordem se for simultaneamente reflexiva, antissimétrica e transitiva.
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Para provar que uma relação é uma relação de equivalência, você precisa demonstrar que ela satisfaz três propriedades fundamentais: reflexividade, simetria e transitividade. Vou explicar cada uma delas em detalhes:
Reflexividade: A relação R é reflexiva se cada elemento do conjunto A está relacionado a si mesmo. Em outras palavras, para todo elemento a em A, (a, a) pertence à relação R. Para provar a reflexividade, você deve mostrar que cada elemento está relacionado a si mesmo.
Simetria: A relação R é simétrica se, para cada par ordenado (a, b) em R, o par ordenado correspondente (b, a) também está em R. Em outras palavras, se a está relacionado a b, então b também está relacionado a a. Para provar a simetria, você deve mostrar que se (a, b) está em R, então (b, a) também está em R.
Transitividade: A relação R é transitiva se, para todos os pares ordenados (a, b) e (b, c) em R, o par ordenado correspondente (a, c) também está em R. Em outras palavras, se a está relacionado a b e b está relacionado a c, então a está relacionado a c. Para provar a transitividade, você deve mostrar que se (a, b) e (b, c) estão em R, então (a, c) também está em R.
Para provar que uma relação é uma relação de equivalência, você precisa demonstrar essas três propriedades para todos os elementos do conjunto. Se todas as três propriedades são satisfeitas, então você pode concluir que a relação é uma relação de equivalência.
Vale ressaltar que a prova de equivalência depende da relação específica que você está considerando, então a abordagem e o detalhamento da prova podem variar dependendo do contexto.
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Sendo A = {1,3} e B = [-2,2], o gráfico cartesiano de A x B é representado por:
