Relações Binárias: veja o que é e exercícios resolvidos

Em matemática, uma relação binária em um conjunto A é uma relação que é estabelecida entre dois elementos distintos desse conjunto. Em outras palavras, é uma relação que associa pares ordenados de elementos de A. Cada par ordenado (a, b) na relação binária indica que há uma relação entre o elemento a e o elemento b.

Pode-se entender o par ordenado como uma coleção de dois elementos onde a ordem deles importa e eles podem ser iguais, diferentemente do que ocorre com os conjuntos.

Representamos o par ordenado como (a, b)  e  temos que (a, b) \(\ne\) (b, a), se a \(\ne\) b.

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O plano cartesiano é o plano definido por dois eixos perpendiculares entre si, o eixo x (das abscissas) e o eixo y (das ordenadas), que se cruzam na origem 0 = (0,0).

É possível associar os pontos neste plano a pares ordenados, onde o primeiro elemento do par ordenado corresponde à coordenada abscissa do ponto e o segundo à coordenada ordenada. Abaixo temos o plano cartesiano e alguns pontos com seus pares ordenados associados.

Dados dois conjuntos A e B, o produto cartesiano A x B é definido como o conjunto de todos os pares ordenados cujo primeiro elemento é pertencente a A e o segundo à B.

A x B = (a,b), a \(\in\) A e b  \(\in\) B6

Se A e B forem conjuntos com um número finito de números, teremos que A x B será um conjunto de pontos. Se um dos dois conjuntos for um intervalo real teremos segmentos de reta ou retas. Se ambos forem intervalos reais teremos que A x B corresponde à regiões do plano.

Exemplo:

i) A = {2,5,7}; B = {2,4,8} \(\Rightarrow\)
A x B = {(2,2); (2,4); (2,8); (5,2); (5,4); (5,8); (7,2); (7,4); (7,8)} 

Obs.: O produto A x A pode ser representado por A².

ii) A = {1,2}; B = {b \(\in\) R| - 1 \(\le\) b \(\le\) 2} = [-1,2] \(Rightarrow\) 

A x B = {(x,y)  \(in\) \(R^{2}\) [x = 1 ou x = 2, -1 \(\le\) y  \(\le\) 2} 

iii) A = {a \(\in\) R|1 \(\le\) a \(\le\)2}; B = {b \(\in\) R| -1 \(\le\) b \(\le\) 2} = [-1,2]  \(\Rightarrow\) 

A x B = {(x,y) \(\in\) \(R^{2}\)| 1 \(\le\) x \(\le\) 2, -1 \(\le\) y \(\le\) 2}

É um produto cartesiano que possui uma propriedade.

R = {(x,y) \(\in\) A x B|\(\rho\) (x,y) é verdadeira}

Por exemplo:

A = {1,3,4}; B = {3,6,8}

A x B = {(1,3), (1,6), (1,8), (3,3), (3,8), (4,3), (4,6), (4,8)}

R = {(a, b) \(\in\) A x B y = 2x} \(\Rightarrow\) R = {(3,6); (4,8)} 

Graficamente temos, com os pontos vermelhos representando A x B e as bolas azuis a relação R:

Outra maneira interessante de representar a relação binária graficamente é através do diagrama de flechas. As flechas indicam os elementos de A que se relacionam com B de acordo com a relação R. No exemplo anterior teríamos:

Sejam dois conjuntos não vazios A e B e seja R uma relação binária de A em B.

O domínio de R é o conjunto D de todas as abscissas (primeiros elementos) dos pares ordenados pertencentes a R. Graficamente no diagrama de flechas o domínio pode ser identificado como o conjunto de pontos de A dos quais partem flechas para elementos de B.

A imagem de R é o conjunto I de todas as ordenadas (segundos elementos) dos pares ordenados pertencentes a R. Graficamente no diagrama de flechas a imagem pode ser identificado como o conjunto de pontos de B nos quais chegam flechas advindas de elementos de A.

Exemplo: A = {2,4,6,8}; B = {1,3,5,7,9}; R = {(x,y) \(\epsilon\) A x B| x > y + 1}

Vemos no diagrama de flechas que o domínio e a imagem de R são:

\(D_{R}\) = {4,6,8}; \(I_{R}\) = {1,3,5}

Relação inversa

A relação inversa pode ser definida como:

\(R^{-1}\) = {(y, x) \(\in\) B x A| (x, y) \(\in\)  R}

Mas simplesmente podemos ver que R^-1  é o conjunto dos pares ordenados de R, porém com a ordem dos elementos trocados. Como estamos trocando as abscissas pelas ordenadas para obter R^-1, podemos obter sua imagem no plano cartesiano refletindo a imagem de R em torno da bissetriz do primeiro quadrante.

Exemplo: Podemos obter o diagrama de flechas da relação inversa do exemplo acima:

Nota-se também que o domínio da relação inversa corresponde à imagem de R e vice-versa. Logo:

\(D_{R^{-1}} = I_{R}\) = {1,3,5}; \(I_{R^{-1}}\) = \(D_{R}\) = {4,6,8} 

1. Reflexiva

A relação R é dita reflexiva se todo elemento do domínio se relaciona com ele mesmo na imagem, ou seja, para todo a \(\in\) A, (a, a) \(\in\) R. 

Exemplo:

A relação R = {(x, y) \(\in\) \(R^2\)|x é divisor de y} é reflexiva, pois x sempre divide ele mesmo. A relação R = {(x, y) \(in\) \(R^2\)|x < y} não é reflexiva, pois não teremos nenhum par ordenado do tipo (x, x).        

2. Simétrica

Dizemos que Ré simétrica se dado que (a, b) \(in\) R há a implicação que (b, a) \(\in\) R.   

Exemplo:

A relação R = {(x, y) \(\in\) \(R^2\)|x + y = 7} é simétrica, pois x + y = y + x, logo se (x, y)  \(\in\) R temos que (y, x) \(\in\) R.   

A relação R = {(x, y)  \(\in\) \(R^2\)|y > x} não é simétrica, pois se (x, y) \(\in\) R dado que y > x,  não poderíamos ter (y, x)  \(\in\)  R.     

3. Antissimétrica

Dizemos que R é antissimétrica se dado que (a, b)  \(\in\)  R, com a \(\ne\) b,  há a implicação que (b, a)  \(\notin\)  R. 

Exemplo:

A relação  R = {(x, y) \(\in\) \(R^{2}\)| y > x} é antissimétrica, pois se (x, y) \(\in\)  Rdado que y > x, não poderíamos ter (y, x) \(\in\)  R já que nesse caso deveríamos ter x > y.   

A relação  R = {(x, y) \(\in\) \(R^{2}\)| y + x = 7} não é antissimétrica, pois x + y = y + x, logo se (x, y) \(\in\)  R, x \(\in\) y temos que (y, x) \(\in\)  R.

4. Transitiva

Se (a, b), (b, c) \(\in\) R \(\Rightarrow\) (a,c) \(\in\) R dizemos que R é transitiva.

Exemplo:

A relação R = {(x, y) \(\in\) \(R^{2}\)| x = y} é transitiva pois se a = b e b = c, temos a = c.

A relação R = {(x, y) \(\in\) \(R^{2}\)| y = 2x} não é transitiva pois:

{b = 2a c = 2b  \(\Rightarrow\) c = 2 (2a) = 4a \(\ne\) 2a.

5. Equivalência

A relação R pode ser dita de equivalência se for simultaneamente reflexiva, simétrica e transitiva.

6. Ordem

A relação R pode ser dita de ordem se for simultaneamente reflexiva, antissimétrica e transitiva.