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Matemática

Arcos côngruos

Marcus Vinicius
Publicado por Marcus Vinicius
Última atualização: 30/1/2020

Introdução

Dizemos que dois arcos são côngruos se eles tiverem as mesmas extremidades. No contexto do ciclo trigonométrico, são aqueles que possuem a mesma origem no ponto A e o final no ponto B, como indicado abaixo.

Do ponto de vista prático, os arcos côngruos possuem os mesmos valores numéricos para as suas razões trigonométricas.

Por exemplo, 30º e 390º são côngruos entre si, deste modo:

$$\sin390º=\sin30º$$

$$\cos390º=\cos30º$$

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Forma geral dos arcos côngruos

Se a medida, em graus, de um arco for \(\theta\) então todos os arcos côngruos a ele podem ser expressos através da seguinte forma:

$$\theta+k\cdot360º$$

com \(n\in\mathbb{Z}\). 

Para o caso em que o arco seja medido em radianos, então a forma geral de seus arcos côngruos será:

$$\theta+k\cdot2\pi$$

onde \(n\in\mathbb{Z}\). 

Por exemplo, os arcos côngruos a 30º têm a seguinte expressão:

$$30º+k\cdot360º$$

Enquanto que aqueles côngruos a \(\frac{2\pi}{3}\)rad possuem a seguinte a forma geral:

$$\frac{2\pi}{3}+k\cdot2\pi$$

Para \(n\) inteiro em ambos os casos acima.

Pelas expressões acima, concluímos que dois arcos são côngruos entre si se a diferença entre eles for um múltiplo de 360.

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Primeira determinação positiva

Por convenção, os arcos \(\theta\) expressos nas fórmulas acima possuem medida de 0º a 360º (ou de 0 a \(2\pi\) rad). 

Deste modo, não é usual, por exemplo, escrevermos uma forma geral dos arcos côngruos usando como início o arco de 400º, pois este é maior que 360º. 

Tais arcos, que são os “pontos de partida” das nossas fórmulas, são chamados de primeira determinação positiva.

Para a fórmula dos arcos côngruos aos de 60º:

$$60º+k\cdot360º$$

Temos que 60º é a primeira determinação positiva de todos aqueles côngruos a ele. 

Para calcular a primeira determinação positiva de um arco qualquer, basta dividir o seu valor por 360º e tomar-se o resto da divisão.

Por exemplo, se quisermos calcular a primeira determinação positiva de 1470º, então o dividimos por 360º:

O quociente da divisão mostra quantas voltas demos a partir do valor do resto. Neste caso, temos que, tomando-se como ponto de partida o arco de 30º, demos 4 voltas completas e chegamos no arco de 1470º. Logo, a primeira determinação positiva dele é 30º.

o mesmo modo, a primeira determinação positiva de de 1200º é 120º pois:

E, mais uma vez, pelo quociente da divisão, temos que a partir do 120º foram necessárias 3 voltas completas para chegar ao arco de medida igual a 1200º.


Exercícios

Exercício 1
(QUERO)

Qual a primeira determinação positiva de 1080º?

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