Entenda o que é e como calcular os arcos côngruos

Matemática - Manual do Enem

Publicado por Marcus Vinicius

- Última atualização: 23/8/2024

Introdução

Arcos côngruos são frequentemente usados em problemas geométricos que envolvem círculos e circunferências.

A ideia de arcos côngruos está relacionada à ideia de que figuras geométricas podem ser equivalentes mesmo que tenham tamanhos e formas diferentes.

O conceito de arcos côngruos é útil para resolver problemas envolvendo circunferências, tais como encontrar ângulos, calcular áreas e perímetros, e analisar as propriedades de figuras geométricas.

Compreender os arcos côngruos é uma habilidade importante na geometria e pode ser aplicado em várias áreas, incluindo a engenharia, a física e a matemática

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Índice

O que são arcos côngruos?

Dizemos que dois arcos são côngruos se eles tiverem as mesmas extremidades. No contexto do ciclo trigonométrico, são aqueles que possuem a mesma origem no ponto A e o final no ponto B, como indicado abaixo.

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Do ponto de vista prático, os arcos côngruos possuem os mesmos valores numéricos para as suas razões trigonométricas.

Por exemplo, 30º e 390º são côngruos entre si, deste modo:

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Como saber se os arcos são côngruos?

Para saber se dois arcos são côngruos, é necessário comparar suas medidas, como o comprimento ou a amplitude. Dois arcos são côngruos se tiverem a mesma medida, ou seja, se forem geometricamente idênticos.

Se estiverem em um mesmo círculo, é possível medir a medida do ângulo central correspondente a cada arco para verificar se são iguais.

Se os arcos estiverem em círculos diferentes, pode ser necessário usar outras propriedades da geometria para compará-los, como a semelhança de triângulos ou a relação entre ângulos e arcos em circunferências diferentes.

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Forma geral dos arcos côngruos

Por convenção, os arcos $θ$ expressos nas fórmulas acima possuem medida de 0º a 360º (ou de 0 a $2 π$ rad).

Deste modo, não é usual, por exemplo, escrevermos uma forma geral dos arcos côngruos usando como início o arco de 400º, pois este é maior que 360º.

Tais arcos, que são os “pontos de partida” das nossas fórmulas, são chamados de primeira determinação positiva.

Para a fórmula dos arcos côngruos aos de 60º:

$60 º + k \cdot 360 º$

Temos que 60º é a primeira determinação positiva de todos aqueles côngruos a ele.

Para calcular a primeira determinação positiva de um arco qualquer, basta dividir o seu valor por 360º e tomar-se o resto da divisão.

Por exemplo, se quisermos calcular a primeira determinação positiva de 1470º, então o dividimos por 360º:

O quociente da divisão mostra quantas voltas demos a partir do valor do resto. Neste caso, temos que, tomando-se como ponto de partida o arco de 30º, demos 4 voltas completas e chegamos no arco de 1470º. Logo, a primeira determinação positiva dele é 30º.

o mesmo modo, a primeira determinação positiva de de 1200º é 120º pois:

E, mais uma vez, pelo quociente da divisão, temos que a partir do 120º foram necessárias 3 voltas completas para chegar ao arco de medida igual a 1200º.

O que é primeira determinação positiva?

Quando trabalhamos com funções trigonométricas como seno, cosseno, tangente, etc., muitas vezes queremos associar valores dessas funções a ângulos específicos. No entanto, cada ângulo tem muitas representações possíveis, devido à natureza periódica dessas funções.

A "primeira determinação positiva" de um ângulo refere-se ao menor valor positivo desse ângulo para o qual a função trigonométrica possui um determinado valor. Em outras palavras, é o menor valor não negativo do ângulo para o qual a função trigonométrica atinge um certo valor específico.

Por exemplo, se você está trabalhando com a função seno e deseja encontrar a primeira determinação positiva do ângulo para o qual o seno é igual a 0,5, você estaria procurando o ângulo mais próximo de 30 graus (ou π/6 radianos), pois o seno de 30 graus é 0,5.

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O que é primeira determinação positiva?

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Exercício de fixação

Passo 1 de 3

QUERO

Qual a primeira determinação positiva de 1080º?

A 0º

B 30º

C 45º

D 60º

E 90º

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