Sequências numéricas

Sequências são conjuntos nos quais cada posição existe um único elemento, assim, a ordem dos elementos é importante na definição da sequência. De forma mais teórica, podemos dizer que uma sequência é uma função f que relaciona um número natural (o número da posição do elemento) com um único número real (o próprio elemento). É importante saber, também, que as sequências podem ser classificadas como finitas ou infinitas! 

Exemplo 1) 

\(A=(3; 7; 9,5; \sqrt{5})\) é uma sequência finita onde \(a_{1}=3; \ a_{2}=7; \ a_{3}=9,5 \ e \ a_{4}=\sqrt{5}\). Assim, vemos que \(a_{n}\) é o elemento e n é o número natural que define a posição deste elemento.

Vale ressaltar que a progressão aritmética e a progressão geométrica são consideradas como sequências!

A sequência de Fibonacci é uma sequência muito conhecida no meio matemático.  

Tranquilo, certo? A dúvida que fica então é: como podemos representar uma sequência? Vamos ver cinco métodos a partir dos quais isso pode ser feito!

O método da listagem se baseia em simplesmente enumerar os elementos da sequência, sendo estes de natureza aleatória. Por exemplo, imagine que você está contando quantas pessoas entram em um restaurante a cada minuto. A sequência em questão seria algo do tipo, nos 4 primeiros minutos: P=(5; 9; 16; 2). Esse resultado nos dá a entender que os elementos não possuem relação entre si.

De forma simples, a sequência pode ser definida por uma lei.

Exemplo 2) Observe a lei e a sequência a qual é definida por esta lei logo abaixo.

Lei: \(a_{n}=4\cdot n-2\)

Etc...  

Caso o primeiro termo da sequência (\(a_{1}\)) já seja conhecido, podemos utilizar uma lei que calcula um elemento com base em outro elemento.

Exemplo 3) 

Assim:

Etc...

Neste caso, vamos representar a soma dos n primeiros termos da sequência.

Observe o exemplo 4 para que a ideia fique mais clara!

Exemplo 4) Temos a sequência definida por \(S_{n}=n^{2}+3\), sendo que \(n\geq 1\). Portanto, temos:

Etc...

Assim, o início dessa sequência seria (4; 3; 5; …). Certo! Bem tranquilo, concorda? Mas e se o exercício pedisse para você calcular o termo \(a_{100}\)? Seria extremamente chato e complicado determinar esse valor até n=100. Se liga no que é possível ser feito nestes casos!

Portanto:

\(S_{100}=S_{99}+a_{100}\Rightarrow a_{100}=S_{100}-S_{99}\Rightarrow a_{100}=(100)^{2}+3-((99)^{2}+3)\Rightarrow a_{100}=199\)

De forma análoga ao método do somatório, vamos representar o produto dos n primeiros termos da sequência.