Impulso e quantidade de movimento: entenda o que é e como se calcula

Impulso e quantidade de movimento são conceitos fundamentais na física, especialmente no estudo da mecânica e dinâmica de objetos. Ambos estão intrinsecamente relacionados e desempenham um papel crucial na análise do movimento e interações de corpos.

Impulso e quantidade de movimento são grandezas físicas que relacionam força, velocidade e massa, úteis no estudo do movimento dos corpos. Ambas são grandezas vetoriais, portanto possuem módulo, direção e sentido.

O impulso de uma força é definido como a força multiplicada pelo intervalo de tempo em que ela atua sobre o corpo.

$$\vec{I} = \vec{F} \cdot \Delta t$$

No Sistema Internacional, sua unidade é o newton segundo (N.s).

A direção e o sentido do impulso são os mesmos da força atuante, pois o intervalo de tempo é um escalar positivo. 

A quantidade de movimento linear, também conhecida como momento linear, momentum linear ou momentum, é definida como o produto da massa de um corpo por sua velocidade. 

$$\vec{Q} = m \cdot \vec{v}$$

No Sistema Internacional, a unidade para a quantidade de movimento é quilograma metro por segundo (kg.m/s).

A direção e o sentido da quantidade de movimento são os mesmos da força atuante, pois a massa é um escalar positivo. 

Considere um corpo de massa 2 kg, em repouso sobre uma superfície horizontal. Sobre ela age uma força constante, de módulo 6 N, durante 3 segundos. No final desses dois segundos, o corpo apresenta velocidade de 9 m/s. Determine:

• a quantidade de movimento inicial;
• a quantidade de movimento final;
• a variação da quantidade de movimento;
• o impulso da força durante os 3 segundos de atuação;
• a aceleração causada pela força aplicada;
• a distância percorrida durante os 3 segundos.

Resolução: 

• Como a velocidade inicial é nula (corpo em repouso):

$$Q_{i} = 2 \cdot 0    \qquad \xrightarrow{} \qquad   Q_{i} = 0$$

     b)   $$Q_{f} = 2 kg \cdot 9 m/s  \qquad \xrightarrow{} \qquad Q_{f} = 18 kg \cdot m/s$$

    (na mesma direção e sentido da velocidade e da força)

    c)   $$\Delta Q =   Q_{f} - Q_{i}  = 18 - 0  \qquad \xrightarrow{} \qquad \Delta Q = 18 kg \cdot m/s$$

     d) $$I = F \cdot \Delta t = 6 N \cdot 3 s   \qquad \xrightarrow{} \qquad I = 18 N.s$$

    (na mesma direção e sentido da força)

     e) Lembrando de conceitos da cinemática, temos:

$$a = \frac{\Delta V}{\Delta t} = \frac{9 - 0 m/s}{3 s}  \qquad \xrightarrow{} \qquad a = 3 m/s^{2}$$

Ou, pela segunda lei de newton:

$$F = m \cdot a  \qquad \xrightarrow{} \qquad 6 = 2 \cdot a$$  

$$a = 3 m/s^{2}$$

     f) Também retomando conceitos da cinemática:

     $$S = S_{0} + v_{0}t + \frac{a t^{2}}{2}  \qquad \xrightarrow{} \qquad S = 0 + 0.3 + \frac{3.3^{2}}{2}$$  

$$S = 13,5 m$$

Alternativamente, também pode ser resolvido pela equação de Torricelli:

$$v^{2} = v_{0}^{2} + 2 \cdot a \cdot \Delta S \qquad \xrightarrow{} \qquad 9^{2} = 0 + 2 \cdot 3 \cdot \Delta S$$

$$6 \Delta S = 81  \qquad \xrightarrow{} \qquad \Delta S = 13,5 m$$

Obteve-se o mesmo resultado nos itens c e d, da variação da quantidade de movimento e do impulso. Isso vem de um importante teorema.

O teorema do impulso estabelece que o impulso resultante é igual a variação da quantidade de movimento do corpo.

$$\vec{I} = \vec{ \Delta Q} = Q_{f} - Q_{i}$$

ou, equivalentemente:

$$F \cdot \Delta t = m \vec{ \Delta {v}}$$

Demonstração

Partindo da segunda lei de Newton: e sabendo que $\vec{a} = \frac{ \vec{ \Delta v}}{ \Delta t}$

$$\vec{F} = m \cdot \vec{a}  \qquad \xrightarrow{} \qquad \vec{F} = m \cdot \frac{ \vec{ \Delta v}}{ \Delta t}$$

Como $\Delta v = v_{f} - v_{i}$ :

$$\vec{F} \cdot \Delta t = m \cdot ( v_{f} - v_{i} ) \qquad \xrightarrow{} \qquad  \vec{F} \cdot \Delta t = Q_{f} - Q_{i}$$

Utilizando a definição de impulso, chega-se finalmente a:

$$\vec{I} = \vec{ \Delta Q}$$

Na verdade, quando Isaac Newton deduziu sua famosa segunda lei, ela foi escrita no formato do teorema do impulso: $F \cdot \Delta t = m \vec{ \Delta {v}}$. Posteriormente, ela foi rearranjada para o formato que conhecemos: $vec{F} = m \cdot \vec{a}$.

Exemplo: Ao bater um pênalti, um jogador de futebol dá um chute em que a bola, de massa 420 gramas, sai com velocidade de 30 m/s. Supondo que o tempo de contato entre o pé do jogador e a bola seja de 0,05 segundo, determine a força que foi exercida pelo jogador sobre a bola.

Resolução: Convertendo a massa para quilogramas (SI), e sabendo que inicialmente a bola estava em repouso (na marca do pênalti):

$$F \cdot \Delta t = m \Delta v   \qquad \xrightarrow{} \qquad  F \cdot 0,05 = 0,420 kg \cdot 30 m/s$$

$$F = \frac{0,42 \cdot 30}{0,05}  \qquad \xrightarrow{} \qquad  F = 252 N$$

No exemplo anterior, a quantidade de movimento da bola aumentou devido a ação de um impulso resultante nela. Contudo, se um corpo (ou sistema) estiver isolado, isto é, sem a ação de forças externas resultantes, o impulso resultante é nulo. Então, pelo teorema do impulso, a variação da quantidade de movimento é nula. Logo, pode-se concluir que:

Em um sistema isolado (sem ação de forças externas), a quantidade de movimento total se conserva.

$$\vec{Q}_{antes} = \vec{Q}_{depois}$$

ou

$$\vec{Q}_{i} = \vec{Q}_{f}$$

Um exemplo simples da conservação da quantidade de movimento é a colisão entre dois veículos. Em colisões desse tipo, desprezando o atrito, as únicas forças atuantes são internas (entre os dois corpos que compõem o sistema). As forças externas presentes são peso e força normal, mas essas forças se anulam, e não geram impulso nos corpos.

Exemplo: suponha que um caminhão, que trafegava à velocidade v colidiu com um carro de massa 1500 kg que estava parado no semáforo. Após a colisão, ambos saíram a 5 m/s. Sabendo que a massa do caminhão era de 6000 kg, e que a colisão durou 0,2 segundo, determine:

• a qual velocidade o caminhão trafegava;
• qual a força que o caminhão fez no carro;
• qual a força que o carro fez no caminhão.

Resolução: 

• Considera-se o sistema carro+caminhão. Durante a colisão só atuaram forças entre os componentes do sistema (forças entre o carro e o caminhão). Assim, a quantidade de movimento é conservada!

     $$Q_{antes} = Q_{depois} \qquad \xrightarrow{} \qquad M \cdot v + m \cdot 0 = M \cdot 5 + m \cdot 5$$

$$6000 \cdot v + 1500 \cdot 0 = 6000 \cdot 5 + 1500 \cdot 5 \qquad \xrightarrow{} \qquad 6000 \cdot v = 30000 + 7500$$

$$6000 v = 37500  \qquad \xrightarrow{} \qquad v = 6,25 m/s$$

      b) Para descobrir a força, consideramos agora o carro e o caminhão como sistemas isolados. Assim, aplicando o teorema do impulso para o carro:

$$F \cdot \Delta t = m \cdot \Delta v \qquad \xrightarrow{} \qquad F \cdot \Delta t = 1500 \cdot (v_{f} - v_{i)}$$

$$F \cdot 0,2 = 1500 \cdot (5 - 0) \qquad \xrightarrow{} \qquad F = \frac{1500 \cdot 5}{0,2}$$

$$F = 37500 N$$

       c) Pela 3ª Lei de Newton (ação e reação), a força que o carro fez no caminhão é igual, em módulo, a força que o caminhão fez no carro.

Assim, $F = 37500 N$

Sabe-se que o módulo do impulso é igual ao produto da força pelo intervalo de tempo. Mas e se o valor da força não for constante durante o tempo considerado? Ou seja, se a força for variável ao longo do tempo. Uma alternativa é utilizar um valor de força média, de maneira que:

$$I = F_{m} \cdot \Delta t$$

Entretanto, o que é mais utilizado é o gráfico F x t. Tendo esse gráfico, pode-se calcular a área sob a curva da força para descobrir o impulso! (De maneira semelhante a como se calcula a área do gráfico v x t para descobrir o deslocamento, em cinemática, ou como se calcula a área do gráfico i x t para descobrir a carga, em eletrodinâmica).

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A relação entre impulso e quantidade de movimento é dada pelo princípio da conservação da quantidade de movimento, que afirma que, em um sistema fechado e isolado, a quantidade total de movimento permanece constante se não houver forças externas atuando sobre o sistema. O impulso fornecido a um objeto é igual à mudança em sua quantidade de movimento, uma relação fundamental na análise de colisões e interações entre objetos.

Estes conceitos são essenciais para entender como objetos se movem e interagem em nosso mundo, desde o simples ato de chutar uma bola até o complexo estudo de colisões em física de partículas.

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