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Física

Impulso e Quantidade de Movimento

Gabriel Briguiet
Publicado por Gabriel Briguiet
Última atualização: 19/12/2018

Introdução

Impulso e quantidade de movimento são grandezas físicas que relacionam força, velocidade e massa, úteis no estudo do movimento dos corpos. Ambas são grandezas vetoriais, portanto possuem módulo, direção e sentido.

impulso de uma força é definido como a força multiplicada pelo intervalo de tempo em que ela atua sobre o corpo.

$$\vec{I} = \vec{F} \cdot \Delta t $$

No Sistema Internacional, sua unidade é o newton segundo (N.s).

A direção e o sentido do impulso são os mesmos da força atuante, pois o intervalo de tempo é um escalar positivo. 

quantidade de movimento linear, também conhecida como momento linearmomentum linear ou momentum, é definida como o produto da massa de um corpo por sua velocidade. 

$$ \vec{Q} = m \cdot \vec{v}$$

No Sistema Internacional, a unidade para a quantidade de movimento é quilograma metro por segundo (kg.m/s).

A direção e o sentido da quantidade de movimento são os mesmos da força atuante, pois a massa é um escalar positivo. 

ExemploConsidere um corpo de massa 2 kg, em repouso sobre uma superfície horizontal. Sobre ela age uma força constante, de módulo 6 N, durante 3 segundos. No final desses dois segundos, o corpo apresenta velocidade de 9 m/s. Determine:

  • a quantidade de movimento inicial;
  • a quantidade de movimento final;
  • a variação da quantidade de movimento;
  • o impulso da força durante os 3 segundos de atuação;
  • a aceleração causada pela força aplicada;
  • a distância percorrida durante os 3 segundos.

Resolução: 

  • Como a velocidade inicial é nula (corpo em repouso):

$$ Q_{i} = 2 \cdot 0    \qquad \xrightarrow{} \qquad   Q_{i} = 0 $$

     b)   $$ Q_{f} = 2 kg \cdot 9 m/s  \qquad \xrightarrow{} \qquad Q_{f} = 18 kg \cdot m/s $$

    (na mesma direção e sentido da velocidade e da força)

    c)   $$ \Delta Q =   Q_{f} - Q_{i}  = 18 - 0  \qquad \xrightarrow{} \qquad \Delta Q = 18 kg \cdot m/s $$

     d) $$ I = F \cdot \Delta t = 6 N \cdot 3 s   \qquad \xrightarrow{} \qquad I = 18 N.s $$

    (na mesma direção e sentido da força)

     e) Lembrando de conceitos da cinemática, temos:

$$ a = \frac{\Delta V}{\Delta t} = \frac{9 - 0 m/s}{3 s}  \qquad \xrightarrow{} \qquad a = 3 m/s^{2} $$

Ou, pela segunda lei de newton:

$$ F = m \cdot a  \qquad \xrightarrow{} \qquad 6 = 2 \cdot a  $$ 

$$ a = 3 m/s^{2} $$

     f) Também retomando conceitos da cinemática:

    $$ S = S_{0} + v_{0}t + \frac{a t^{2}}{2}  \qquad \xrightarrow{} \qquad S = 0 + 0.3 + \frac{3.3^{2}}{2} $$ 

$$ S = 13,5 m $$

Alternativamente, também pode ser resolvido pela equação de Torricelli:

$$  v^{2} = v_{0}^{2} + 2 \cdot a \cdot \Delta S \qquad \xrightarrow{} \qquad 9^{2} = 0 + 2 \cdot 3 \cdot \Delta S $$

$$ 6 \Delta S = 81  \qquad \xrightarrow{} \qquad \Delta S = 13,5 m $$

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Obteve-se o mesmo resultado nos itens c e d, da variação da quantidade de movimento e do impulso. Isso vem de um importante teorema:

Teorema do Impulso

O teorema do impulso estabelece que o impulso resultante é igual a variação da quantidade de movimento do corpo.

$$ \vec{I} = \vec{ \Delta Q} = Q_{f} - Q_{i} $$

ou, equivalentemente:

$$ F \cdot \Delta t = m \vec{ \Delta {v}} $$

Demonstração

Partindo da segunda lei de Newton: e sabendo que \( \vec{a} = \frac{ \vec{ \Delta v}}{ \Delta t} \)

$$ \vec{F} = m \cdot \vec{a}  \qquad \xrightarrow{} \qquad \vec{F} = m \cdot \frac{ \vec{ \Delta v}}{ \Delta t} $$

Como \(\Delta v = v_{f} - v_{i} \) :

$$ \vec{F} \cdot \Delta t = m \cdot ( v_{f} - v_{i} ) \qquad \xrightarrow{} \qquad  \vec{F} \cdot \Delta t = Q_{f} - Q_{i} $$

Utilizando a definição de impulso, chega-se finalmente a:

$$ \vec{I} = \vec{ \Delta Q} $$

Na verdade, quando Isaac Newton deduziu sua famosa segunda lei, ela foi escrita no formato do teorema do impulso: \( F \cdot \Delta t = m \vec{ \Delta {v}} \). Posteriormente, ela foi rearranjada para o formato que conhecemos: \(vec{F} = m \cdot \vec{a} \).

Exemplo: Ao bater um pênalti, um jogador de futebol dá um chute em que a bola, de massa 420 gramas, sai com velocidade de 30 m/s. Supondo que o tempo de contato entre o pé do jogador e a bola seja de 0,05 segundo, determine a força que foi exercida pelo jogador sobre a bola.

Resolução: Convertendo a massa para quilogramas (SI), e sabendo que inicialmente a bola estava em repouso (na marca do pênalti):

$$ F \cdot \Delta t = m \Delta v   \qquad \xrightarrow{} \qquad  F \cdot 0,05 = 0,420 kg \cdot 30 m/s $$

$$ F = \frac{0,42 \cdot 30}{0,05}  \qquad \xrightarrow{} \qquad  F = 252 N $$

Conservação da quantidade de movimento

No exemplo anterior, a quantidade de movimento da bola aumentou devido a ação de um impulso resultante nela. Contudo, se um corpo (ou sistema) estiver isolado, isto é, sem a ação de forças externas resultantes, o impulso resultante é nulo. Então, pelo teorema do impulso, a variação da quantidade de movimento é nula. Logo, pode-se concluir que:

Em um sistema isolado (sem ação de forças externas), a quantidade de movimento total se conserva.

$$ \vec{Q}_{antes} = \vec{Q}_{depois} $$

ou

$$ \vec{Q}_{i} = \vec{Q}_{f} $$

Um exemplo simples da conservação da quantidade de movimento é a colisão entre dois veículos. Em colisões desse tipo, desprezando o atrito, as únicas forças atuantes são internas (entre os dois corpos que compõem o sistema). As forças externas presentes são peso e força normal, mas essas forças se anulam, e não geram impulso nos corpos.

Exemplo: suponha que um caminhão, que trafegava à velocidade v colidiu com um carro de massa 1500 kg que estava parado no semáforo. Após a colisão, ambos saíram a 5 m/s. Sabendo que a massa do caminhão era de 6000 kg, e que a colisão durou 0,2 segundo, determine:

  • a qual velocidade o caminhão trafegava;
  • qual a força que o caminhão fez no carro;
  • qual a força que o carro fez no caminhão.

Resolução: 

  • Considera-se o sistema carro+caminhão. Durante a colisão só atuaram forças entre os componentes do sistema (forças entre o carro e o caminhão). Assim, a quantidade de movimento é conservada!

    $$ Q_{antes} = Q_{depois} \qquad \xrightarrow{} \qquad M \cdot v + m \cdot 0 = M \cdot 5 + m \cdot 5 $$

$$ 6000 \cdot v + 1500 \cdot 0 = 6000 \cdot 5 + 1500 \cdot 5 \qquad \xrightarrow{} \qquad 6000 \cdot v = 30000 + 7500 $$

$$ 6000 v = 37500  \qquad \xrightarrow{} \qquad v = 6,25 m/s $$

      b) Para descobrir a força, consideramos agora o carro e o caminhão como sistemas isolados. Assim, aplicando o teorema do impulso para o carro:

$$ F \cdot \Delta t = m \cdot \Delta v \qquad \xrightarrow{} \qquad F \cdot \Delta t = 1500 \cdot (v_{f} - v_{i)} $$

$$ F \cdot 0,2 = 1500 \cdot (5 - 0) \qquad \xrightarrow{} \qquad F = \frac{1500 \cdot 5}{0,2} $$

$$ F = 37500 N $$

       c) Pela 3ª Lei de Newton (ação e reação), a força que o carro fez no caminhão é igual, em módulo, a força que o caminhão fez no carro.

Assim, \( F = 37500 N \)

Gráfico F x t

Sabe-se que o módulo do impulso é igual ao produto da força pelo intervalo de tempo. Mas e se o valor da força não for constante durante o tempo considerado? Ou seja, se a força for variável ao longo do tempo. Uma alternativa é utilizar um valor de força média, de maneira que:

$$ I = F_{m} \cdot \Delta t $$

Entretanto, o que é mais utilizado é o gráfico F x t. Tendo esse gráfico, pode-se calcular a área sob a curva da força para descobrir o impulso! (De maneira semelhante a como se calcula a área do gráfico v x t para descobrir o deslocamento, em cinemática, ou como se calcula a área do gráfico i x t para descobrir a carga, em eletrodinâmica).

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Exercícios

Exercício 1
(PUC-PR/2007)

Um trenó de massa 40 kg desliza a uma velocidade de 5,0 m/s, próximo e paralelamente ao peitoril da pista de patinação. Uma pessoa que está em repouso do lado de fora da pista, solta uma mochila de 10 kg, sobre o trenó. Qual a velocidade do trenó após receber a mochila?

Ilustração: Rapaz corpulento de camiseta, short e tênis acenando

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