Dinâmica

É uma parte da mecânica que estuda os movimentos e as forças que os causam, tendo como base as Leis de Newton.

Para analisar a dinâmica de um corpo, é fundamental fazer o diagrama de corpo livre (ou, simplesmente, diagrama de forças). Ele consiste em desenhar todas as forças que atuam sobre um corpo isolado de quaisquer outros corpos.

Exemplo: considere um bloco, de peso P, apoiado sobre uma mesa, sob a ação de uma força F e suspenso por um fio (de tração T), conforme o esquema abaixo:

Peso sendo empurrado por uma força F.

O diagrama de corpo livre desse bloco seria:

decomposição de forças.

Muitas vezes, se faz necessária uma decomposição de forças para aplicar as Leis de Newton após a elaboração do diagrama de corpo livre.

O pêndulo simples consiste de uma massa, geralmente uma partícula, na ponta de um fio ou de uma haste, posta a oscilar. Um relógio de pêndulo é um exemplo de pêndulo simples.

Exemplo de pêndulo simples.

Na figura acima, está representada a oscilação de um pêndulo simples em dois instantes diferentes (correspondentes aos pontos mais altos da trajetória). É importante notar que, desprezando a dissipação de energia, o pêndulo oscila no mesmo ângulo para ambos os lados. Sua trajetória (um arco de circunferência de raio L) está representada pelo pontilhado.

Ponto genérico

Em um ponto genérico da trajetória, pode-se esboçar o seguinte diagrama de forças:

O peso foi decomposto nos eixos radial e tangencial do movimento. Como o movimento é curvilíneo, deve haver uma força centrípeta na direção radial, no sentido do centro da trajetória. Assim:

\[ T-P_{Y}=F_{CP} \]

A componente X do peso exerce o papel de força tangencial, que, pela Segunda Lei de Newton, pode ser escrita como o produto da aceleração tangencial pela massa:

\[ P_{X}=F_{t}=a_{t}\cdot m \]

Esse diagrama de forças é aplicável independentemente do móvel estar subindo ou descendo. Caso esteja descendo, estará com movimento acelerado (aceleração tangencial no mesmo sentido da velocidade); caso esteja subindo, movimento retardado (aceleração tangencial e velocidade em sentidos opostos).

Apesar da situação analisada acima ser genérica, vale a pena estudar alguns casos particulares, como o do ponto mais alto e o do ponto mais baixo.

Ponto mais alto

No ponto mais alto, o móvel está invertendo o sentido do movimento e, portanto, tem velocidade nula. Como \(F_{CP}=\frac{m v^{2}}{R}\), a força centrípeta também é nula. Assim:

\[ T-P_{Y}=F_{CP}=0 \qquad \xrightarrow{}\qquad T=P_{Y}=P\cdot cos \theta \]

E, novamente: \[ P_{X}=P\cdot sen \theta = F_{t}=a_{t}\cdot m \]

Ponto mais baixo

No ponto mais baixo, deixa de existir a componente X do peso \((P_{Y}=P, P_{X}=0, \theta=0)\). A velocidade está na direção horizontal, seja para a direita ou para a esquerda.

Assim, no instante em que ele passa pelo ponto mais baixo, não há força tangencial. Esse instante também é o de maior tração no fio e de maior velocidade do móvel.

\[ T-P=F_{CP} \]

\[ a_{t}=0 \]

Enquanto o movimento do pêndulo simples se dá inteiramente em um plano, o pêndulo cônico se move no espaço, de maneira que o fio ou haste descreve um cone.

O móvel realiza um movimento circular uniforme em um plano paralelo ao chão, de maneira que o ângulo \(\theta\), que o fio faz com a vertical, se mantém constante.

Nessa situação, a tração é decomposta em componentes vertical e horizontal. O componente vertical deve ser igual ao peso, para manter o móvel sempre na mesma altura, enquanto a componente horizontal age como força centrípeta no MCU. O raio desse MCU será \(L \cdot sen \theta\), pela geometria do problema.

\[T_{Y}=T\cdot cos \theta=P \]

\[ T_{X}=T\cdot sen \theta = F_{CP} \qquad \xrightarrow{}\qquad T\cdot sen \theta = \frac{m v^{2}}{L \cdot sen \theta} \]

Um plano inclinado é caracterizado pelo seu ângulo \(\theta\) de inclinação com a horizontal. Nas situações que o envolvem, é conveniente decompor o peso em componentes tangencial e normal ao plano.

Exemplo de plano inclinado sem atrito.

\[ F_{N}=P_{Y}=P\cdot cos \theta \]

\[ P_{X}=P\cdot sen \theta =F_{R}=m\cdot a \]

Assim, o bloco descerá acelerado ao longo da superfície do plano inclinado, a não ser que haja uma força na direção x que possa segurá-lo - por exemplo, uma força de atrito.

Plao inclinado com a força atrito.

Nesse caso, para o equilíbrio:

\[ F_{N}=P_{Y}=P\cdot cos \theta \]

\[ P_{X} = F_{at} \]

Assim, com a força resultante nula, o bloco pode estar em repouso ou em MRU (tanto para cima como para baixo).

Exemplo: Um bloco se encontra sobre um plano inclinado que faz 30° com a horizontal, e está na iminência do deslizamento. Sabendo que a força de atrito máxima vale 30 N, determine a massa do bloco. (g=10 m/s²)

Solução: Equilíbrio de forças na direção tangencial ao plano:

\[ P_{X}= F_{at} \qquad \xrightarrow{}\qquad m \cdot g \cdot sen 30° = 30 \]

\[ 10 \cdot m \cdot \frac{1}{2} = 30  \qquad \xrightarrow{}\qquad 5m=30 \]

\[ m= \qquad kg \]

OBS: quando um bloco se encontra na iminência do deslizamento em um plano inclinado com atrito, a tangente do ângulo de inclinação com a horizontal é igual ao coeficiente de atrito estático.

\[ tg \theta = \mu \]

Demonstração:

\[ P_{X}= F_{at} \qquad \xrightarrow{}\qquad m \cdot g \cdot sen \theta = F_{N} \cdot \mu \]

\[ \mu = \frac{mg\cdot sen \theta}{F_{N}} \]

Mas, como \(F_{N}=mg\cdot cos \theta\):

\[ \mu = \frac{mg\cdot sen \theta}{mg\cdot cos \theta}  \qquad \xrightarrow{}\qquad \mu=tg \theta \]

Polias, também chamadas de roldanas, são componentes mecânicos que se destinam a mudar a direção em que um cabo ou fio é tracionado e, frequentemente, a reduzir a força necessária para mover certa massa. Uma aplicação comum de polias é em aparelhos de academias de ginástica.

A polia ideal, que é o caso estudado, apresenta massa desprezível e não gera nenhuma perda de energia por atrito com o fio. Além disso, seu raio não é considerado para soluções de problemas.

Na prática, é necessário diferenciar uma polia fixa de uma polia móvel:

Polia fixa

Polia fixa.

A polia fixa é o exemplo mais simples. Ela sempre se encontra presa a alguma superfície e, por ela, passa um fio tracionado por um peso e por uma força exercida do outro lado.

Percebe-se que, nessa situação, a força exercida no fio deve ser igual ao peso do objeto para que haja o equilíbrio.

Polia móvel

Plao inclinado com a força atrito.

Já na polia móvel, a massa a ser levantada está ligada não ao fio, mas à própria polia, e uma extremidade do fio é fixada em alguma superfície.

A grande vantagem da polia móvel é a redução da força necessária ao equilíbrio. Como o fio é dobrado ao redor da polia, a tração do fio acaba atuando duas vezes, na direção vertical para cima. No exemplo da figura, apesar do peso do bloco ser de 100 N, basta uma força de 50 N no fio para equilibrar o sistema.

Ou seja, a tração do fio que passa pela polia móvel é sempre a metade do seu peso! Caso sejam associadas n polias móveis, com ou sem polias fixas intermediando, a tração necessária será \(\frac{P}{2^{n}}\) .

OBS: Apesar de haver a vantagem mecânica da redução da força necessária, a polia móvel apresenta uma desvantagem. Caso o objetivo seja elevar o objeto a uma altura H, terá que ser puxado um comprimento 2H de fio. Isso ocorre porque o fio, inextensível, está dobrado ao redor da polia, mas também pode-se explicar esse fenômeno utilizando os conceitos de trabalho e de conservação de energia.

É interessante estudar a dinâmica de situações em que blocos se encontram ligados por fios inextensíveis, com ou sem polias. Nessas situações, é essencial seguir as seguintes etapas:

• Fazer o diagrama de corpo livre de cada corpo
• Determinar a força resultante para cada corpo
• Com a força resultante, escrever a Segunda Lei de Newton \(( F_{R} = m \cdot a )\) para cada corpo, e montar um sistema com tais equações
• Resolver o sistema, complementando com a condição de que a aceleração de todos os corpos é a mesma!

Tal condição da aceleração ocorre pelo fato do fio ser inextensível, então o conjunto se move como um corpo só. Pode-se aplicar essas ideias nos seguintes exemplos:

Considerar g=10 m/s²

Exemplo 1: O bloco 1 tem massa de 3 kg, enquanto o bloco 2 tem 2 kg, e estão dispostos conforme a figura. Uma vez que os blocos são abandonados dessa posição, determine a aceleração adquirida por cada um dos blocos.

Solução: Ao ser abandonado, o sistema tende a ir para o lado do bloco mais pesado, para a direita. Assim, o bloco 1 estará acelerado para baixo, e o bloco 2 acelerado para cima.

\[ F_{R1}=P_{1} - T  = m_{1} \cdot a   \qquad \xrightarrow{}\qquad a=\frac{30 - T}{3} \]

\[ F_{R2}= T - P_{2}   = m_{2} \cdot a   \qquad \xrightarrow{}\qquad a=\frac{T - 20}{2} \]

Como o conjunto tem a mesma aceleração, pode-se igualar as expressões acima:

\[ a=\frac{30 - T}{3}=\frac{T - 20}{2} \qquad \xrightarrow{}\qquad 60 - 2T=3T - 60 \]

\[ 5T=120   \qquad \xrightarrow{}\qquad T=24 \qquad N \]

Uma vez encontrada a tração, basta substituir em qualquer uma das expressões para encontrar a aceleração:

\[ a=\frac{30 - T}{3} = \frac{30 - 24}{3} \qquad \xrightarrow{}\qquad a=2 \qquad m/s^{2} \]

Exemplo 2: Os blocos 1 e 2 têm massas 4kg e 2kg, respectivamente. Determine o coeficiente de atrito entre a superfície de apoio e o bloco 1 para que o conjunto desça com velocidade constante.

Solução: A força resultante em cada bloco será:

\[ F_{R1}= T - F_{at}   \qquad  F_{R2}=P_{2} - T \]

Como é solicitado que cada bloco tenha velocidade constante, a força resultante em cada um deve ser nula. Então:

\[ F_{R2}=20 - T = 0   \qquad \xrightarrow{}\qquad T=20 \qquad N \]

\[ F_{R1}=20 - F_{at} = 0 \qquad \xrightarrow{}\qquad F_{at}=20 \qquad N \]

Como \(F_{at}= F_{N} \cdot \mu\), e a força normal no bloco 1 é igual ao peso:

\[ 20 = 40 \cdot \mu \qquad \xrightarrow{}\qquad \mu = 0,5 \]

Exemplo 3: Considere os blocos 1 e 2, ligados por um fio e de massas 8kg e 6kg, respectivamente. Os blocos estão apoiados em uma superfície horizontal sem atritos. Sobre o bloco 1 age uma força de 14 N, conforme a figura. Determine a tração no fio.

Nessa situação, em vez de isolar os corpos para fazer o diagrama de forças, é mais conveniente juntá-los: tratar o conjunto como uma só massa, de 8+6=14kg, submetida a uma força externa de 14 N. Portanto:

\[ F_{R} = (M+m)\cdot a\qquad \xrightarrow{}\qquad 14 = 14 \cdot a \]

\[ a= 1 \qquad m/s^{2} \]

Essa aceleração é comum a ambos blocos, que se movem juntos. Agora, sim, separando os blocos:

\[ F_{R2} = T = m_{2} \cdot a \qquad \xrightarrow{}\qquad T= 6 \cdot 1 \]

\[ T = 6 \qquad N \]