Força Centrípeta

Em um movimento curvilíneo (como por exemplo um Movimento Circular Uniforme), a força centrípeta é a componente responsável por fazer a curva, mudar a direção do movimento. Dessa maneira, ela não está presente em movimentos retilíneos.

A força centrípeta está sempre normal (perpendicular) à velocidade, e sua função é alterar a direção do vetor velocidade. Ela está sempre apontando para o centro de curvatura da trajetória (direção radial), ou seja, “para dentro” da trajetória.

O valor da força centrípeta depende da massa do corpo, do raio da trajetória e da velocidade, sendo dado por:

\[ F_{cp} = \frac{m v^{2}}{R} \]

Em um movimento circular uniforme (sem variação no módulo da velocidade), a força centrípeta será a força resultante.

Em um movimento curvilíneo qualquer, pode existir, além da força centrípeta, a força tangencial. Ela é responsável por alterar o módulo da velocidade. Assim, ela está sempre na mesma direção da velocidade instantânea (direção tangencial), no mesmo sentido (acelerando) ou em sentido oposto (retardando, como na figura acima). Seu valor é dado por:

\[ F_{t} = m \cdot \frac{\Delta|\vec{v}|}{\Delta t} \]

Utilizando um pouco de cinemática vetorial, é possível determinar o valor da aceleração centrípeta (e, portanto, da força centrípeta):

O triângulo ABC é isósceles com ângulo \(\theta\), assim como o triângulo das velocidades (V₁ = V_2 , porque a velocidade é constante, ou, para um movimento qualquer, pode-se considerar que em um intervalo infinitesimal de tempo não há variação de velocidade). Assim, pela semelhança dos dois triângulos, e sabendo a expressão da aceleração vetorial média, tem-se:

\[ \dfrac{|\Delta \vec{V}|}{AB}=\dfrac{|\vec{V_{1}|}}{R}\]  \[ |\vec{a}_{m}|= \dfrac{|\Delta \vec{V}|}{\Delta t} \]

Contudo, considerando um intervalo de tempo muito pequeno (infinitesimal, tendendo a zero), o ângulo \(\theta\) será muito pequeno. Assim, o segmento de reta AB será igual ao arco AB. Por sua vez, esse arco é dado por \(v\Delta t\) (velocidade escalar vezes o tempo = deslocamento escalar). Além disso, V₁ = V = constante (MCU).

Então, recuperando a equação da semelhança dos triângulos:

\[ \dfrac{|\Delta \vec{V}|}{V \cdot \Delta t}=\dfrac{|\vec{V|}}{R}\qquad \xrightarrow{}\qquad \dfrac{|\Delta \vec{V}|}{V \cdot \Delta t}=\dfrac{V}{R}\qquad \xrightarrow{}\qquad \dfrac{|\Delta \vec{V}|}{\Delta t}=\dfrac{V^{2}}{R} \]

Como o lado esquerdo da equação é igual ao módulo da aceleração vetorial média:

\[ |\vec{a}_{m}|= |\vec{a}_{cp}|=\dfrac{V^{2}}{R} \]

Pela 2ª Lei de Newton:

\[ F = m \cdot a  \qquad \xrightarrow{}\qquad F_{cp} = \frac{m v^{2}}{R} \]

Alternativamente, pode-se substituir v por \(\omega\) \(\cdot R\), e, assim:

\[ F_{cp} = m\cdot \omega^{2} \cdot R \]

É importante ter atenção para as relações de proporcionalidade que essas fórmulas guardam!

Ao traçar o diagrama de corpo livre, a força centrípeta não deve ser adicionada. Isso se deve ao fato de que ela será a força resultante entre outras, ou será uma componente de outra força. A seguir, são analisadas algumas situações clássicas de atuação da força centrípeta.

Pêndulo Simples

O pêndulo simples consiste em uma massa, geralmente uma partícula, na ponta de um fio ou haste, posta a oscilar. Um relógio de pêndulo é um exemplo de pêndulo simples.

No ponto mais baixo, deixa de existir a componente X do peso \((P_{Y}=P, P_{X}=0, \theta=0)\). A velocidade está na direção horizontal, seja para a direita ou para a esquerda.

Assim, no instante em que ele passa pelo ponto mais baixo, não há força tangencial. Esse instante também é o de maior tração no fio e maior velocidade do móvel.

\[ T-P=F_{CP} \]

\[ a_{t}=0 \]

Apesar de não ser um movimento circular uniforme, a resultante é a centrípeta, pois não há força tangencial no instante considerado.

Uma aplicação análoga é a de um skatista passando pelo ponto mais baixo de uma rampa, na qual, em vez da tração, há a força normal.

Pêndulo Cônico

Enquanto o movimento do pêndulo simples se dá inteiramente em um plano, o pêndulo cônico se move no espaço, de maneira que o fio ou haste descreve um cone. O móvel realiza um movimento circular uniforme em um plano paralelo ao chão, de maneira que o ângulo \(\theta\), que o fio forma com a vertical, se mantém constante.

Nessa situação, a tração é decomposta em componentes vertical e horizontal. A componente vertical deve ser igual ao peso para manter o móvel sempre na mesma altura, enquanto a componente horizontal age como força centrípeta no MCU. O raio desse MCU será \(L \cdot sen \theta\), pela geometria do problema.

\[ T_{Y}=T\cdot cos \theta=P \]

\[ T_{X}=T\cdot sen \theta = F_{CP} \qquad \xrightarrow{}\qquad T\cdot sen \theta = \frac{m v^{2}}{L \cdot sen \theta} \]

Pista com sobrelevação

A sobrelevação é um ângulo implementado em trechos curvos de estradas e rodovias, a fim de melhorar a segurança em tais curvas. A pista é inclinada “para dentro” da trajetória, de modo que uma componente da força normal atua como centrípeta.

Corte transversal da pista, com as forças atuantes sobre o veículo, e vista superior da trajetória, com a resultante centrípeta.

Em uma situação sem atrito, têm-se:

Equilíbrio na vertical: \[ F_{Ny} = P \qquad \xrightarrow{}\qquad F_{N} \cdot cos \theta = m \cdot g \qquad \xrightarrow{}\qquad F_{N} = \frac{m \cdot g}{cos \theta}\]

Na horizontal, a componente x da força normal será a força resultante centrípeta (apontando para o centro da trajetória):

\[ F_{R} = F_{cp} \qquad \xrightarrow{}\qquad F_{N} \cdot sen \theta = \frac{m v^{2}}{R} \]

Com o valor da força normal obtido do equilíbrio na vertical, pode-se determinar o valor do raio da curva, ou da velocidade, ou do ângulo de sobrelevação (um por vez, sendo os outros dados):

\[ \frac{m \cdot g \cdot sen \theta}{cos \theta}=\frac{m v^{2}}{R} \qquad \xrightarrow{}\qquad g\cdot tg \theta = \frac{v^{2}}{R} \]

Rotor

O rotor pode ser encontrado como brinquedo em alguns parques de diversão. Nessa situação, uma pessoa fica encostada em uma parede, no interior de um cilindro oco rotativo, e a força normal da parede exerce o papel de força centrípeta, enquanto o atrito entre a pessoa e a parede a mantém em equilíbrio na vertical.

Loop

A fim completar um loop, por exemplo em um “globo da morte”, é necessário que o móvel tenha uma velocidade mínima.

Globo da morte, dentro do qual motociclistas executam loops.

No caso geral, no ponto mais alto do 

loop

, a força centrípeta é exercida pelo peso somado com a força normal (ambas estão apontando para o centro da trajetória). Contudo, quando o corpo está completando o 

loop

 com a velocidade mínima possível, ele está na 

iminência de perder o contato

, e a 

força normal é nula

!

Então, para determinar a velocidade mínima, dado o raio do loop:

\[ P = F_{R} = F_{cp} \qquad \xrightarrow{} \qquad m \cdot g = \frac{m v^{2}}{R} \]

\[ v^{2}= g\cdot R \qquad \xrightarrow{} \qquad v_{min} = \sqrt{g \cdot R} \]