Plano Inclinado: o que é, fórmulas, exemplos e exercícios

Rampas, esteiras rolantes, morros e ladeiras são superfícies comuns no cotidiano. Na prática, todas as superfícies possuem um ângulo com relação a horizontal.

Nesse sentido, ao avaliar modelos físicos é necessário que esses efeitos da inclinação sejam considerados. Planos inclinados são superfícies que possuem um ângulo com relação a horizontal.

Para definirmos bem os conceitos de plano inclinado precisamos entender o que é a referência horizontal e vertical. A vertical é definida como a direção paralela à direção da gravidade. Já a horizontal é a direção perpendicular à gravidade. 

Desse modo, um plano inclinado pode ser representado como na figura abaixo, onde g representa a gravidade e o ângulo \(\Theta\) a inclinação com relação a horizontal:

A direção normal da superfície que o corpo está encontrado é uma direção de interesse, uma vez que a força normal de contato atua nessa direção.

Para representar essa direção. o ângulo \(\beta\) é avaliado. Ele é o ângulo que a direção normal faz com relação a vertical. Pela geometria do problema podemos chegar na seguinte conclusão:

Logo de forma geral a representação geométrica de um plano inclinado é como mostra a figura abaixo:

O estudo das forças que atuam no corpo em um plano inclinado pode ser feito desprezando ou não o atrito, com ou sem a presença de outras forças externas ao corpo.

Em uma primeira análise, vamos desconsiderar o atrito e avaliar as equações da dinâmica do plano inclinado. Para isso, é necessário adotar um sistema de coordenadas de referência e desenhar seu diagrama de corpo livre (DCL).

Adota-se o sistema de coordenadas de referência, com o eixo x paralelo à superfície do corpo. No caso de ausência de atrito, o DCL do corpo e as equações em cada componente dos eixos são descritas:

Sendo \(m\) a massa do corpo, \(N\) representa a força normal e \(P\) o peso do corpo.

O peso do corpo é descrito como \(P = m.g\) , logo da primeira equação do eixo \(y\),  \(N = m.g.cos(\theta)\).

A aceleração do corpo, dado pelas equações do eixo \(x\) \(a = g.sen(\theta)\).

Conhecendo a massa do corpo, a componente normal e a aceleração do corpo é definida. Perceba que a aceleração é constante. Logo, o corpo descreve um MRUV sobre a superfície do plano inclinado. Todas as equações da cinemática do movimento podem ser aplicadas nesse corpo.

Se aproximando mais a realidade do problema físico, se considera a componente do atrito. O atrito é uma força que age sempre na direção paralela à superfície de contato e seu sentido é sempre se opondo ao sentido da velocidade ou à tendência de movimento. 

Logo, assumindo que o corpo está descendo sobre um plano inclinado, o diagrama de corpo livre:

A magnitude da força de atrito é diretamente proporcional a sua força de contato normal, logo seu valor é descrito como \(f_{atrito} = \mu.N\), onde \(\mu\) é o seu coeficiente de atrito, um valor dependente das superfícies de contato em questão. 

Conhecendo as superfícies de contato se conhece o coeficiente.

Da equação do eixo \(y\) se encontra a componente normal: \(N = mg.cos(\theta)\)

Portanto para o eixo \(x\) tem-se \(m.g.sen(\theta) - \mu. m.g.cos(\theta) = m. a \Rightarrow  a = g(sen(\theta) - \mu cos(\theta))\)

Sabemos que o coeficiente \(\mu\) difere-se quando se avalia a condição estática e dinâmica, na condição estática onde o corpo se encontra em repouso, logo aceleração e velocidade nula tem-se  

\(0 =  g(sen(\theta) - \mu_{estático} cos(\theta)) \Rightarrow   \mu _{estático} = \frac{sen(\theta)}{cos(\theta)} = tg (\theta)\)

Para que o bloco se movimente no plano inclinado é necessário que \(tg(\theta) > \mu _{estático}\). Quando estamos projetando, por exemplo, um escorregador é preciso avaliar o ângulo mínimo do brinquedo para que se possa escorregar.

Ao acrescentar outros esforços ao corpo, a mesma análise pode ser feita desenhando o diagrama de corpo livre e equacionando as componentes de sua força em cada direção.

É importante avaliar as conversões de energia que ocorrem no plano inclinado, no caso em que não há dissipação de energia (sem atrito) no sentido espontâneo do problema o corpo desce do plano inclinado, logo sua energia potencial gravitacional está sendo transformada em energia cinética. O princípio da conservação da energia pode ser aplicado nesse sistema.

Para elevar um bloco em uma superfície inclinada o trabalho realizado pela força deve ser convertido em energia potencial gravitacional. Logo podemos dizer que:

\(W_{força} = -\Delta E_{potencial gravitacional}\)

O sinal negativo indica o ganho de energia potencial gravitacional uma vez que no ponto mais alto da superfície o potencial é maior. Logo, pode-se escrever:

\(F.\Delta S = -m.g.\Delta h\)