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Matemática

Cevianas e Pontos Notáveis do Triângulo

Marcus Vinicius
Publicado por Marcus Vinicius
Última atualização: 22/10/2018

Introdução

Existem segmentos de reta, com origem em um vértice de um triângulo, que aparecem bastante em exercícios e com grande quantidade de aplicações. A tais segmentos damos o nome de cevianas de um triângulo.

Basicamente, são estudadas três cevianas: a mediana, a bissetriz e a altura.

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Mediana

A mediana é a ceviana cujas extremidades estão em um vértice e no ponto médio do lado oposto a este vértice.

Na figura abaixo, sendo \(A\) um vértice e \(M\) o ponto médio do lado \(\bar{BC}\), então \(\bar{AM}\) é a mediana relativa ao lado \(\bar{BC}\).

Note que \(M\) é ponto médio de \(\bar{BC}\), então tal ponto divide o lado \(\bar{BC}\) ao meio. Isto é, \(\bar{BM}\) e \(\bar{MC}\) têm a mesma medida.

Evidentemente, um triângulo possui sempre três medianas, cada uma saindo de um dos seus vértices.

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Altura

O segmento de reta com origem em um vértice de um triângulo e fim no lado oposto a tal vértice, de modo que eles sejam perpendiculares entre si, é chamado de altura do triângulo.

Abaixo, \(\bar{AH}\) é a altura relativa ao lado \(\bar{BC}\) e, portanto, \(A\hat{H}B=A\hat{H}C=90º\)

Observe que não necessariamente o ponto \( H\) (chamado de pé da altura) equivale ao ponto médio de \(\bar{BC}\).

Também podemos formar três alturas distintas. Visualize, também, que na figura acima formam-se dois triângulos retângulos \(ABH\) \(ACH\).

Bissetriz

A bissetriz de um triângulo é o segmento de reta com origem em um dos vértices, de modo que ele divide tal ângulo desse vértice pela metade.

Na figura a seguir, sendo \(\bar{AS}\) bissetriz relativa ao lado \(\bar{BC}\), então os ângulos \(B\hat{A}S\) e \(C\hat{A}S\) possuem a mesma medida.

Fica claro aqui, também, que um triângulo possui três bissetrizes, assim como as outras cevianas vistas anteriormente.

Cevianas em um triângulo isósceles

Um resultado importante que envolve as cevianas de um triângulo isósceles se diz respeito àquelas relativas à base.

Neste caso, as cevianas se coincidem. Ou seja, a mediana, a altura e a bissetriz relativas à base de um triângulo isósceles são o mesmo segmento de reta.

Na figura abaixo, sendo \( \bar{BC}\) a base do triângulo isósceles \( ABC\), temos que \(\bar{AP}\) é, ao mesmo tempo, mediana, altura e bissetriz.

Cevianas em um triângulo equilátero

Já em um triângulo equilátero, todas as cevianas coincidem entre si, não importando o vértice de origem, conforme ilustra a imagem a seguir.

Pontos notáveis de um triângulo

Como visto acima, cada triângulo possui três medianas, três alturas e três bissetrizes. Ao traçarmos as três cevianas de cada tipo ao mesmo tempo, elas se encontram em pontos que chamamos de pontos notáveis de um triângulo.

Baricentro

O baricentro é o ponto de encontro das medianas. Ele é comumente denotado pela letra \(G\), pois é o centro de gravidade (ou centro geométrico) do triângulo.

Além disso, o baricentro divide cada mediana na razão \(2\colon1\), isto é:

$$ \frac{AG}{GM}=\frac{BG}{GN}=\frac{CG}{GP}=\frac{2}{1}$$

Ortocentro

O ponto de encontro das alturas de um triângulo é chamado de ortocentro.

  • Em um triângulo acutângulo, o ortocentro se encontra no interior do mesmo;
  • Em um triângulo retângulo, o ortocentro coincide com o vértice do ângulo reto;
  • E em um triângulo obtusângulo, o ortocentro fica na região externa ao triângulo.

Incentro

O incentro é o ponto de encontro das bissetrizes. A sua principal particularidade consiste-se no fato de que ele também é o centro da circunferência inscrita no triângulo.

Pontos notáveis em um triângulo isósceles

Em um triângulo isósceles, os pontos notáveis estão alinhados:

Pontos notáveis em um triângulo equilátero

Em um triângulo equilátero, os pontos notáveis são coincidentes entre si, ou seja, eles são o mesmo ponto. Isso acontece porque a mediana, altura e bissetriz de um vértice são coincidentes no triângulo equilátero.

Fórmulas


Exercícios

Exercício 1
(FATEC)

Na figura seguinte, \(r\) é bissetriz do ângulo \( A\hat{B}C\). Se \( \alpha=40º e \beta=30º\), então:

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