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Em matemática, a paridade de funções é um conceito sobre a simetria que elas apresentam. Confira, a seguir, o que são as funções pares e ímpares e entenda as suas diferenças.
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Uma função matemática é dita Par quando satisfaz a propriedade de simetria em relação ao eixo vertical, também conhecido como eixo das ordenadas ou eixo y.
Em outras palavras, uma função f(x) é considerada par se, para qualquer valor x no domínio da função, o valor f(x) é igual ao valor f(-x).
Matematicamente, uma função f(x) é par se, para todo x no domínio da função, a seguinte igualdade for verdadeira:
$$f(x)=f(-x)$$
Alguns exemplos de funções pares comuns incluem:
1. Função quadrática: f(x) = x²
Para qualquer valor de x, f(x) = f(-x), porque o quadrado de um número é sempre positivo.
2. Função cosseno: f(x) = cos(x)
O cosseno de um ângulo é uma função par, pois cos(x) = cos(-x) para todos os valores de x.
O gráfico de uma função par é sempre simétrico em relação ao eixo \(y\).
Se tomarmos, por exemplo, \(f(x)=x^{2}\), que é uma função par, podemos ver que, de fato, existe uma simetria em relação ao seu gráfico no eixo das ordenadas:
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Dizemos que uma função \(f\) é uma função par se, para todos os pontos \(x\) do seu domínio, for satisfeita a igualdade:
$$f(x)=f(-x)$$
Por exemplo, tomemos a função:
$$f(x)=3x^{2}+4$$
Temos que:
$$f(-x)=3(-x)^{2}+4=3x^{2}+4$$
Como todo número real ao quadrado é sempre positivo, claramente \(f(x)=f(-x)\), ou seja, \(f\) é par.
Verifique a igualdade direta ou se a função é uma função polinomial com expoente par. Se uma das condições for satisfeita, a função é par.
Uma função matemática é considerada Ímpar quando ela satisfaz a propriedade de simetria em relação à origem do Plano Cartesiano, também conhecido como ponto (0, 0) do sistema de coordenadas.
Em outras palavras, uma função f(x) é considerada ímpar se, para qualquer valor x no domínio da função, o valor f(x) é igual ao oposto do valor f(-x).
Matematicamente, uma função f(x) é ímpar se, para todo x no domínio da função, a seguinte igualdade for verdadeira:
$$f(x)=-f(-x)$$
Alguns exemplos de funções ímpares comuns incluem:
1. Função cúbica: f(x) = x³
Para qualquer valor de x, f(x) = -f(-x), porque o cubo de um número é igual ao oposto do cubo do seu oposto.
2. Função seno: f(x) = sin(x)
O seno de um ângulo é uma função ímpar, pois sin(x) = -sin(-x) para todos os valores de x.
O gráfico de uma função ímpar
A curva que representa o gráfico de uma função ímpar é simétrica em relação à origem do plano cartesiano.
Ilustramos abaixo o gráfico da função \(f(x)=\sin(x)\), que é uma função ímpar. Além disso, pode-se notar a simetria em relação ao ponto \((0,0)\).
Uma função \(f\) será classificada como uma função ímpar se, para todos os pontos do seu domínio, a igualdade abaixo for satisfeita:
$$f(x)=-f(-x)$$
Um exemplo é a função:
$$f(x)=x^{3}$$
Se tomarmos \(f(-x)\), obtemos:
$$f(-x)=(-x)^{3}=-x^{3}$$
Como \(f(x)=x^{3}\), segue que:
$$f(-x)=-f(x)$$
Ou seja: \(f(x)=x^{3}\) é uma função ímpar.
Verifique a igualdade direta ou se a função é uma função polinomial com expoente ímpar. Se uma das condições for satisfeita, a função é ímpar.
As propriedades de funções pares e ímpares permitem simplificar operações matemáticas envolvendo essas funções. Veja como essas operações funcionam:
Quando você soma duas funções pares, o resultado é outra função par.
Matematicamente, se f(x) e g(x) são funções pares, então (f + g)(x) também é uma função par.
Exemplo de duas funções pares:
Soma das funções pares:
(f + g)(x) = x² + 2x⁴
A função resultante (f + g)(x) também é uma função par.
Quando você soma duas funções ímpares, o resultado é outra função ímpar.
Matematicamente, se f(x) e g(x) são funções ímpares, então (f + g)(x) também é uma função ímpar.
Exemplo de duas funções ímpares:
Soma das funções ímpares:
(f + g)(x) = x³ + 3x⁵
Quando você multiplica uma função par por uma função ímpar, o resultado é uma função ímpar.
Matematicamente, se f(x) é uma função par e g(x) é uma função ímpar, então (f . g)(x) é uma função ímpar.
Exemplo 1:
Produto das funções:
(f . g)(x) = (x²) . (x³) = x⁵
A função resultante (f . g)(x) é uma função ímpar.
Exemplo 2:
A função \(f(x)=\cos(x)\) é uma função par. E sendo \(g(x)=\sin(x)\) uma função ímpar, então a função $$h(x)=f(x)\cdot g(x)=\cos(x)\cdot\sin(x)$$ é uma função ímpar.
Quando você multiplica duas funções pares ou duas funções ímpares, o resultado é uma função par.
Matematicamente, se f(x) e g(x) são ambas funções pares ou ambas funções ímpares, então (f . g)(x) é uma função par.
Exemplo de duas funções pares:
Produto das funções:
(f . g)(x) = (x²) . (2x⁴) = 2x⁶
A função resultante (f . g)(x) também é uma função par.
Quando você multiplica uma função ímpar por uma função par, o resultado é uma função par.
Matematicamente, se f(x) é uma função ímpar e g(x) é uma função par, então (f . g)(x) é uma função par.
Exemplo de uma função ímpar e uma função par:
Produto das funções:
(f . g)(x) = (x³) . (2x²) = 2x⁵
A função resultante (f . g)(x) é uma função ímpar.
Agora, usando a definição de função ímpar, podemos compreender que a soma de duas funções ímpares é uma função ímpar. Porém, o produto de duas funções ímpares é uma função par.
Se tomarmos as funções ímpares \(f(x)=x\) e \(g(x)=x^{3}\), temos que:
$$h(x)=f(x)\cdot g(x)=x\cdot x^{3}\Rightarrow h(x)=x^{4}$$
Ou seja, o produto será uma função par.
Temos, assim, um resultado que nos auxilia bastante:
Podemos somar ou subtrair um número escalar a uma função par e ela se manterá par. Por exemplo, \(f(x)=x^{8}\) é uma função par. Deste modo:
$$g(x)=x^{8}+3$$
O resultado também será uma função par, bem como:
$$h(x)=x^{8}-5$$
Tal resultado, porém, não vale para funções ímpares.
Uma propriedade que vale tanto para funções pares ou ímpares é que podemos multiplicá-las (ou dividi-las) por um número e a paridade se manterá.
Por exemplo, tomemos a função:
$$f(x)=2\tan(x)$$
Esta função é ímpar, pois \(g(x)=\tan(x)\) é uma função ímpar.
Tomemos, agora esta outra função:
$$f(x)=\frac{\cos(x)}{7}$$
Essa função é par, pois \(g(x)=\cos(x)\) é par.
Ainda, as funções constantes, ou seja, do tipo $$f(x)=c$$ em que \(c\in\mathbb{R}\) são funções pares. Ou seja, as funções $$f(x)=200, \quad g(x)=-18, \quad h(x)=\frac{5}{3}$$ são todas pares.
Todavia, o produto de uma função par com uma função ímpar resulta em uma função ímpar.
É evidente que existem funções que não são pares nem ímpares. E a única função que é par e ímpar ao mesmo tempo é a função nula: \(f(x)=0\).
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Revisado por: Ferdinando Caíque Genghini Dantas Lobo
Formado em Matemática pela Universidade Estadual de Campinas (Unicamp), com mestrado na área pela Profmat - Unicamp. Atua como professor de Matemática desde 2012, nos colégios Asther (Campinas-SP) e Villa Lobos (Amparo-SP).
A função abaixo que é ímpar é:
