Função par e função ímpar: o que são, características e exemplos

Em matemática, a paridade de funções é um conceito sobre a simetria que elas apresentam. Confira, a seguir, o que são as funções pares e ímpares e entenda as suas diferenças.

Uma função matemática é dita Par quando satisfaz a propriedade de simetria em relação ao eixo vertical, também conhecido como eixo das ordenadas ou eixo y. 

Em outras palavras, uma função f(x) é considerada par se, para qualquer valor x no domínio da função, o valor f(x) é igual ao valor f(-x).

Matematicamente, uma função f(x) é par se, para todo x no domínio da função, a seguinte igualdade for verdadeira:

$$f(x)=f(-x)$$

Alguns exemplos de funções pares comuns incluem:

1. Função quadrática: f(x) = x²

Para qualquer valor de x, f(x) = f(-x), porque o quadrado de um número é sempre positivo.

2. Função cosseno: f(x) = cos(x)

O cosseno de um ângulo é uma função par, pois cos(x) = cos(-x) para todos os valores de x.

O gráfico de uma função par

O gráfico de uma função par é sempre simétrico em relação ao eixo \(y\).

Se tomarmos, por exemplo, \(f(x)=x^{2}\), que é uma função par, podemos ver que, de fato, existe uma simetria em relação ao seu gráfico no eixo das ordenadas:

Como determinar se a função é par?

Uma função matemática é considerada Ímpar quando ela satisfaz a propriedade de simetria em relação à origem do Plano Cartesiano, também conhecido como ponto (0, 0) do sistema de coordenadas. 

Em outras palavras, uma função f(x) é considerada ímpar se, para qualquer valor x no domínio da função, o valor f(x) é igual ao oposto do valor f(-x).

Matematicamente, uma função f(x) é ímpar se, para todo x no domínio da função, a seguinte igualdade for verdadeira:

$$f(x)=-f(-x)$$

Alguns exemplos de funções ímpares comuns incluem:

1. Função cúbica: f(x) = x³

Para qualquer valor de x, f(x) = -f(-x), porque o cubo de um número é igual ao oposto do cubo do seu oposto.

2. Função seno: f(x) = sin(x)

O seno de um ângulo é uma função ímpar, pois sin(x) = -sin(-x) para todos os valores de x.

A curva que representa o gráfico de uma função ímpar é simétrica em relação à origem do plano cartesiano.

Ilustramos abaixo o gráfico da função \(f(x)=\sin(x)\), que é uma função ímpar. Além disso, pode-se notar a simetria em relação ao ponto \((0,0)\).

Como determinar se a função é ímpar?

As propriedades de funções pares e ímpares permitem simplificar operações matemáticas envolvendo essas funções. Veja como essas operações funcionam:

Soma de Funções Pares:

Quando você soma duas funções pares, o resultado é outra função par.

Matematicamente, se f(x) e g(x) são funções pares, então (f + g)(x) também é uma função par.

Exemplo de duas funções pares:

• f(x) = x² (função par)
• g(x) = 2x⁴ (função par)

Soma das funções pares:

(f + g)(x) = x² + 2x⁴

A função resultante (f + g)(x) também é uma função par.

 Soma de Funções Ímpares:

Quando você soma duas funções ímpares, o resultado é outra função ímpar.

Matematicamente, se f(x) e g(x) são funções ímpares, então (f + g)(x) também é uma função ímpar.

Exemplo de duas funções ímpares:

• f(x) = x³ (função ímpar)
• g(x) = 3x⁵ (função ímpar)

Soma das funções ímpares:

(f + g)(x) = x³ + 3x⁵

Produto de Função Par por Função Ímpar:

Quando você multiplica uma função par por uma função ímpar, o resultado é uma função ímpar.

Matematicamente, se f(x) é uma função par e g(x) é uma função ímpar, então (f . g)(x) é uma função ímpar.

Exemplo 1:

• f(x) = x² (função par)
• g(x) = x³ (função ímpar)

Produto das funções:

(f . g)(x) = (x²) . (x³) = x⁵

A função resultante (f . g)(x) é uma função ímpar.

Exemplo 2:

A função \(f(x)=\cos(x)\) é uma função par. E sendo \(g(x)=\sin(x)\) uma função ímpar, então a função $$h(x)=f(x)\cdot g(x)=\cos(x)\cdot\sin(x)$$ é uma função ímpar.

Produto de Função Par por Função Par ou Função Ímpar por Função Ímpar:

Quando você multiplica duas funções pares ou duas funções ímpares, o resultado é uma função par.

Matematicamente, se f(x) e g(x) são ambas funções pares ou ambas funções ímpares, então (f . g)(x) é uma função par.

Exemplo de duas funções pares:

• f(x) = x² (função par)
• g(x) = 2x⁴(função par)

Produto das funções:

(f . g)(x) = (x²) . (2x⁴) = 2x⁶

A função resultante (f . g)(x) também é uma função par.

Produto de Função Ímpar por Função Par:

Quando você multiplica uma função ímpar por uma função par, o resultado é uma função par.

Matematicamente, se f(x) é uma função ímpar e g(x) é uma função par, então (f . g)(x) é uma função par.

Exemplo de uma função ímpar e uma função par:

• f(x) = x³ (função ímpar)
• g(x) = 2x² (função par)

Produto das funções:

(f . g)(x) = (x³) . (2x²) = 2x⁵

A função resultante (f . g)(x) é uma função ímpar.

Agora, usando a definição de função ímpar, podemos compreender que a soma de duas funções ímpares é uma função ímpar. Porém, o produto de duas funções ímpares é uma função par.

Se tomarmos as funções ímpares \(f(x)=x\) e \(g(x)=x^{3}\), temos que:

$$h(x)=f(x)\cdot g(x)=x\cdot x^{3}\Rightarrow h(x)=x^{4}$$

Ou seja, o produto será uma função par.

Temos, assim, um resultado que nos auxilia bastante:

• \(f(x)=x^{\text{número par}}\) é uma função par. Por exemplo \(f(x)=x^{2}, f(x)=x^{4}, f(x)=x^{6}\) etc.
• \(f(x)=x^{\text{número ímpar}}\) é uma função ímpar. Por exemplo \(f(x)=x, f(x)=x^{3}, f(x)=x^{5}\) etc.

Soma ou subtração por Escalar

Podemos somar ou subtrair um número escalar a uma função par e ela se manterá par. Por exemplo, \(f(x)=x^{8}\) é uma função par. Deste modo:

$$g(x)=x^{8}+3$$

O resultado também será uma função par, bem como:

$$h(x)=x^{8}-5$$

Tal resultado, porém, não vale para funções ímpares. 

Divisão ou Multiplicação por Escalar

Uma propriedade que vale tanto para funções pares ou ímpares é que podemos multiplicá-las (ou dividi-las) por um número e a paridade se manterá. 

Por exemplo, tomemos a função:

$$f(x)=2\tan(x)$$

Esta função é ímpar, pois \(g(x)=\tan(x)\) é uma função ímpar.

Tomemos, agora esta outra função:

$$f(x)=\frac{\cos(x)}{7}$$

Essa função é par, pois \(g(x)=\cos(x)\) é par.

Funções Constantes

Ainda, as funções constantes, ou seja, do tipo $$f(x)=c$$ em que \(c\in\mathbb{R}\) são funções pares. Ou seja, as funções $$f(x)=200, \quad g(x)=-18, \quad h(x)=\frac{5}{3}$$ são todas pares.

Todavia, o produto de uma função par com uma função ímpar resulta em uma função ímpar.

Funções sem Paridade

É evidente que existem funções que não são pares nem ímpares. E a única função que é par e ímpar ao mesmo tempo é a função nula: \(f(x)=0\).

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