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Matemática

Números complexos

Matheus Lemes
Publicado por Matheus Lemes
Última atualização: 11/5/2019

Introdução

Aqui vai uma pergunta para você: qual o valor da raiz quadrada de menos 4 (ou seja, \(\sqrt{-4}\))? Não pode ser 2, certo? Pois 2 vezes 2 é igual a 4 positivo. Da mesma forma, não é -2, porque -2 vezes -2 é igual a 4 positivo também! Qual a resposta então?

A unidade imaginária i.

Por definição, a unidade imaginária i possui o seguinte valor:

\(i^{2}=-1\)

Nesse sentido, é possível notar que essa unidade possui uma propriedade que nenhum outro número real tem: ele soluciona o problema apresentado no começo deste texto.

Ou seja, é possível resolver uma raiz quadrada de número negativo! Observe:

    \(i^{2}=-1\rightarrow i=\sqrt{-1}\)

Assim, o valor i é igual a raiz quadrada de menos um. No nosso caso, (\(\sqrt{-4}\)), temos:

\(\sqrt{-4}=\sqrt{4\cdot (-1)}=\sqrt{4}\cdot \sqrt{-1}=2\cdot i\)

Conjunto complexo

Como foi explicado, a unidade imaginária soluciona alguns problemas, diferente dos números reais, que não o fazem. Assim, surge um novo conjunto númerico: o conjunto dos números complexos.

Este conjunto engloba todos os outros conjuntos, inclusive o dos reais, como pode ser visto no esquema abaixo.


Forma algébrica

Representamos um número complexo pela letra “z”, sendo que:

z=x+yi, com x, y \(\in \mathbb{R}\)

Dizemos que x é a parte real e é a parte imaginária de z, ok?

É importante ressaltar também que se y=0, então z é um número real. De forma semelhante, se x=0 e \(y\neq 0\), então z é um imaginário puro.

Exemplos de números complexos:

  • z=2+5i (x=2 e y=5)
  • z=-3+i (x=-3 e y=1)

Vale informar que os números complexos também podem ser representados pela sua forma trigonométrica, a qual não será abordada neste texto.

Operações aritméticas com números complexos

  • Soma: a soma destes números é determinada pela adição dos termos reais com termos reais e termos imaginários com termos imaginários. Os exemplos abaixo mostram melhor o que queremos dizer.

Exemplo 1: determine \(z_{1}+z_{2}\), sendo que \(z_{1}=4-2i\) e \(z_{2}=9+6i\).

Solução: (basta somarmos os termos semelhantes) \(z_{1}+z_{2}=(4-2i)+(9+6i)=(4+9)+(-2+6)i=13+4i\)

  • Subtração: subtração é análoga ao caso da soma.

Exemplo 2: determine \(z_{1}-z_{2}\), sendo que \(z_{1}=-5-3i\) e \(z_{2}=11+i\).

Solução: \(z_{1}-z_{2}=(-5-3i)-(11+i)=(-5-11)+(-3-1)i=-16-4i\)

  • Multiplicação: multiplicação dos números complexos é tranquila. Basta aplicarmos a velha conhecida distributiva (ou “chuveirinho”, como alguns conhecem).

Exemplo 3: determine \(z_{1}\cdot z_{2}\), sendo que \(z_{1}=7+3i\) e \(z_{2}=-9+4i\).

Solução: \(z_{1}\cdot z_{2}=(7+3i)\cdot (-9+4i)=-63+28i-27i+12i^{2}=-63+i+12\cdot (-1)=-63+i-12=-75+i\)

  • Divisão: divisão é a única operação que é um pouco diferente. Para calculá-la, devemos multiplicar o numerador e o denominador da fração (ou seja, da divisão) pelo número conjugado do denominador. Ok, mas… o que é conjugado? Calma! Um número complexo conjugado (representado por \(\overline{z}\)) se espelha em outro número complexo. A única diferença é que o sinal da parte imaginária é trocado! Observe:
  • \(z=7+3i\rightarrow \overline{z}=7-3i\)
  • \(z=-2-4i\rightarrow \overline{z}=-2+4i\)
  • \(z=5i\rightarrow \overline{z}=-5i\)

Uma dica é que sempre que multiplicarmos um número complexo pelo seu conjugado, o resultado deve ser um número real!

Exemplo 4: determine \(\frac{z_{1}}{z_{2}}\), sendo que \(z_{1}=7i\) e \(z_{2}=4-2i\).

Solução: devemos multiplicar tanto o numerador quanto o denominador pelo conjugado do denominador (neste caso, o \(z_{2}\)). Assim,

\(\frac{z_{1}}{z_{2}}=\frac{7i}{4-2i}=\frac{7i}{4-2i}\cdot \frac{4+2i}{4+2i}=\frac{28i+14i^{2}}{16+8i-8i-4i^{2}}=\frac{28i-14}{16+4}=\frac{28i-14}{20}=\frac{14i-7}{10}=\frac{14i}{10}-\frac{7}{10}\)

Temos que \(x=-\frac{7}{10}\) e \(y=\frac{14}{10}\).

Potências puras de i

    Repare na periodicidade dos valores de \(i^{n}\):

  • \(i^{0}=1\)    
  • \(i^{1}=i\)
  • \(i^{2}=-1\)
  • \(i^{3}=-i\)
  • \(i^{4}=1\)
  • \(i^{5}=i\)
  • \(i^{6}=-1\)
  • \(i^{7}=-i\)
  • \(i^{8}=1\)
  • Assim por diante…

Vemos que cada resultado se repete após 4 potências.

Exemplo 5: calcule \(i^{123}\).

Solução: sabemos que os resultados das potências de i se repetem de 4 em 4, então:


Temos que o ciclo se repete 30 vezes e “para” no 3, assim:

\(i^{123}=i^{3}=-i\)

Aplicações

É recorrente o uso de números complexos em Engenharia, como no cálculo de resistências, capacitâncias e afins na área elétrica. Além disso, estes números auxiliam, como já foi explicado, na resolução de raízes quadradas de números negativos.

Assim, consequentemente, os números complexos são bastante aplicados em problemas que envolvem equações de segundo grau, uso da fórmula de Bhaskara e assim por diante.

Fórmulas



Exercícios

Exercício 1
(UNICAMP)

Chamamos de unidade imaginária e denotamos por i o número complexo tal que \(i^{2}=-1\).

Então, \(i^{0}+i^{1}+i^{3}+...+i^{2013}\) vale:

Ilustração: Rapaz corpulento de camiseta, short e tênis acenando

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