Parâmetros das funções trigonométricas

Lembra das funções trigonométricas? As funções seno, cosseno e tangente são extremamente importantes na Matemática e sempre aparecem nas provas e vestibulares. Neste texto, você vai aprender como essas funções variam de acordo com alguns parâmetros, ou seja, os parâmetros das funções trigonométricas! É importante saber que essa variação reflete tanto nas próprias funções quanto em seus respectivos gráficos. 

A trigonometria possui três principais funções: seno, cosseno e tangente. O seno (sen) relaciona o lado oposto de um ângulo em um triângulo retângulo com a medida da hipotenusa. O cosseno (cos) relaciona o lado adjacente de um ângulo em um triângulo retângulo com a medida da hipotenusa. Já a tangente (tan) relaciona o lado oposto de um ângulo em um triângulo retângulo com o lado adjacente.

Essas funções são fundamentais para a resolução de problemas trigonométricos, fornecendo informações sobre ângulos, distâncias e relações entre os lados de um triângulo. Além disso, a trigonometria é amplamente aplicada em diversas áreas, como física, engenharia, navegação e astronomia.

Ela permite calcular trajetórias, determinar a posição de objetos em curvas e analisar fenômenos ondulatórios, entre outras aplicações. Em resumo, as funções trigonométricas desempenham um papel crucial na modelagem e resolução de problemas geométricos e físicos, contribuindo para o avanço do conhecimento científico e tecnológico.

São quatro parâmetros (a, b, c e d) que influenciam na função seno, cosseno e tangente:

\(f(x)=a+b\cdot sen(c\cdot x+d)\)

A figura a seguir mostra o gráfico do seno com todos os parâmetros iguais a zero, ou seja: \(f(x)=sen(x)\).

Figura 1 - Gráfico de \(f(x)=sen(x)\)

Parâmetro a

O parâmetro a faz com que o gráfico “suba” ou “desça” o valor de a, observe:

Figura 2 - Gráfico de \(f(x)=1+sen(x)\)

Figura 3 - Gráfico de \(f(x)=-1+sen(x)\).

Perceba, então, que o parâmetro desloca o gráfico em relação ao eixo y. Repare, também, que isso faz com que a imagem da função seja alterada. 

• Na figura 1, a imagem é \([-1;1]\);
• Na figura 2, a imagem é \([0;2]\);
• Na figura 3, a imagem é \([-2;0]\).

Parâmetro b

Este parâmetro multiplica todos os valores do gráfico pelo seu valor em relação ao eixo y.

Figura 4 - Gráfico de \(f(x)=2\cdot sen(x)\).

Figura 5 - Gráfico de \(f(x)=-2\cdot sen(x)\).

Repare que neste caso, além da imagem ser alterada, a amplitude do gráfico também muda. Em ambas as figuras 4 e 5, a amplitude é \(Amp=2\).

Parâmetro c

O parâmetro c altera o período da função trigonométrica. Quando ele é igual a zero (como é o caso da figura 1), o valor do período é \(P=2\pi \).

Figura 6 - Gráfico de \(f(x)=sen(2\cdot x)\).

Figura 7 - Gráfico de \(f(x)=sen(-2\cdot x)\).

Em ambas figura 6 e 7 acima, o período passa a ser \(P=\pi\). Para determinar o novo valor do período com base no valor de c, basta utilizar a fórmula abaixo:

\(P=\frac{2\pi}{\left | c \right |}\)

Parâmetro d

O parâmetro d faz com que ocorra um deslocamento para a direita ou esquerda em relação ao eixo x.

Figura 8 - Gráfico de \(f(x)=sen(x+\frac{\pi}{2})\).

Figura 9 - Gráfico de \(f(x)=sen(x-\frac{\pi}{2})\).

Note que quando o valor de d é positivo, o gráfico se desloca para a esquerda e, quando d é negativo, ele se desloca para a direita, não se confunda!

É importante ressaltar também que nem sempre o gráfico vai “andar” o valor de d. Quando o parâmetro c possuir algum valor que não seja zero, o deslocamento é dado por:

\(Deslocamento=-\frac{d}{c}\)

Parâmetros simultâneos

Já vimos como cada parâmetro se comporta individualmente. Agora, vamos ver como o gráfico fica com mais de um parâmetro na função.

Figura 10 - Gráfico de \(f(x)=3-2\cdot sen(x)\).

Figura 11 - Gráfico de \(f(x)=1+2\cdot sen(x-\pi)\).

Figura 12 - Gráfico de \(f(x)=1+2\cdot sen(3\cdot x-\pi)\).

Lembre-se, é muito importante que você analise os parâmetros juntos, pois cada um influencia no outro. Assim, para que seja possível identificar ou desenhar o gráfico, suponha alguns valores fáceis. Por exemplo, no caso da função \(f(x)=1+2\cdot sen(3\cdot x)\), veja qual é o resultado de f(x) para cada valor de x na tabela abaixo:

Figura 13 - Gráfico de \(f(x)=1+2\cdot sen(3\cdot x)\).

Os parâmetros influenciam na função cosseno da mesma forma que influenciam na função seno! A única diferença é que o gráfico básico do cosseno é diferente do seno, como mostra a figura 14.

Figura 14 - Gráfico de \(f(x)=cos (x)\).

A função tangente também se modifica da mesma forma de acordo com os parâmetros já explicados! A diferença é a mesma, o seu gráfico básico é diferente. Nesse sentido, sempre busque montar uma tabela semelhante a da tabela 1, pois assim fica mais fácil de você enxergar como o gráfico se comporta, beleza?!

Figura 15 - Gráfico de \(f(x)=tg(x)\).

Resumindo o que foi aprendido até aqui sobre os parâmetros das funções trigonométricas, temos:

• Parâmetro a: desloca no eixo y;
• Parâmetro b: altera a amplitude;
• Parâmetro c: altera o período;
• Parâmetro d: desloca no eixo x.

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