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Lembra das funções trigonométricas? As funções seno, cosseno e tangente são extremamente importantes na Matemática e sempre aparecem nas provas e vestibulares. Neste texto, você vai aprender como essas funções variam de acordo com alguns parâmetros, ou seja, os parâmetros das funções trigonométricas! É importante saber que essa variação reflete tanto nas próprias funções quanto em seus respectivos gráficos.
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A trigonometria possui três principais funções: seno, cosseno e tangente. O seno (sen) relaciona o lado oposto de um ângulo em um triângulo retângulo com a medida da hipotenusa. O cosseno (cos) relaciona o lado adjacente de um ângulo em um triângulo retângulo com a medida da hipotenusa. Já a tangente (tan) relaciona o lado oposto de um ângulo em um triângulo retângulo com o lado adjacente.
Essas funções são fundamentais para a resolução de problemas trigonométricos, fornecendo informações sobre ângulos, distâncias e relações entre os lados de um triângulo. Além disso, a trigonometria é amplamente aplicada em diversas áreas, como física, engenharia, navegação e astronomia. A magnitude dos valores afeta diretamente a trigonometria.
Ela permite calcular trajetórias, determinar a posição de objetos em curvas e analisar fenômenos ondulatórios, entre outras aplicações. Em resumo, as funções trigonométricas desempenham um papel crucial na modelagem e resolução de problemas geométricos e físicos, contribuindo para o avanço do conhecimento científico e tecnológico.
São quatro parâmetros (a, b, c e d) que influenciam na função seno, cosseno e tangente:
\(f(x)=a+b\cdot sen(c\cdot x+d)\)
A figura a seguir mostra o gráfico do seno com todos os parâmetros iguais a zero, ou seja: \(f(x)=sen(x)\).
Figura 1 - Gráfico de \(f(x)=sen(x)\)
O parâmetro a faz com que o gráfico “suba” ou “desça” o valor de a, observe:
Figura 2 - Gráfico de \(f(x)=1+sen(x)\)
Figura 3 - Gráfico de \(f(x)=-1+sen(x)\).
Perceba, então, que o parâmetro desloca o gráfico em relação ao eixo y. Repare, também, que isso faz com que a imagem da função seja alterada.
Este parâmetro multiplica todos os valores do gráfico pelo seu valor em relação ao eixo y.
Figura 4 - Gráfico de \(f(x)=2\cdot sen(x)\).
Figura 5 - Gráfico de \(f(x)=-2\cdot sen(x)\).
Repare que neste caso, além da imagem ser alterada, a amplitude do gráfico também muda. Em ambas as figuras 4 e 5, a amplitude é \(Amp=2\).
O parâmetro c altera o período da função trigonométrica. Quando ele é igual a zero (como é o caso da figura 1), o valor do período é \(P=2\pi \).
Figura 6 - Gráfico de \(f(x)=sen(2\cdot x)\).
Figura 7 - Gráfico de \(f(x)=sen(-2\cdot x)\).
Em ambas figura 6 e 7 acima, o período passa a ser \(P=\pi\). Para determinar o novo valor do período com base no valor de c, basta utilizar a fórmula abaixo:
\(P=\frac{2\pi}{\left | c \right |}\)
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O parâmetro d faz com que ocorra um deslocamento para a direita ou esquerda em relação ao eixo x.
Figura 8 - Gráfico de \(f(x)=sen(x+\frac{\pi}{2})\).
Figura 9 - Gráfico de \(f(x)=sen(x-\frac{\pi}{2})\).
Note que quando o valor de d é positivo, o gráfico se desloca para a esquerda e, quando d é negativo, ele se desloca para a direita, não se confunda!
É importante ressaltar também que nem sempre o gráfico vai “andar” o valor de d. Quando o parâmetro c possuir algum valor que não seja zero, o deslocamento é dado por:
\(Deslocamento=-\frac{d}{c}\)
Já vimos como cada parâmetro se comporta individualmente. Agora, vamos ver como o gráfico fica com mais de um parâmetro na função.
Figura 10 - Gráfico de \(f(x)=3-2\cdot sen(x)\).
Figura 11 - Gráfico de \(f(x)=1+2\cdot sen(x-\pi)\).
Figura 12 - Gráfico de \(f(x)=1+2\cdot sen(3\cdot x-\pi)\).
Lembre-se, é muito importante que você analise os parâmetros juntos, pois cada um influencia no outro. Assim, para que seja possível identificar ou desenhar o gráfico, suponha alguns valores fáceis. Por exemplo, no caso da função \(f(x)=1+2\cdot sen(3\cdot x)\), veja qual é o resultado de f(x) para cada valor de x na tabela abaixo:
| x | \(f(x)=1+2\cdot sen(3\cdot x)\) |
| 0 | 1 |
| \(\frac{\pi}{6}\) | 3 |
| \(\frac{\pi}{2}\) | -1 |
| \(\pi\) | 1 |
Figura 13 - Gráfico de \(f(x)=1+2\cdot sen(3\cdot x)\).
Os parâmetros influenciam na função cosseno da mesma forma que influenciam na função seno! A única diferença é que o gráfico básico do cosseno é diferente do seno, como mostra a figura 14.
Figura 14 - Gráfico de \(f(x)=cos (x)\).
A função tangente também se modifica da mesma forma de acordo com os parâmetros já explicados! A diferença é a mesma, o seu gráfico básico é diferente. Nesse sentido, sempre busque montar uma tabela semelhante a da tabela 1, pois assim fica mais fácil de você enxergar como o gráfico se comporta, beleza?!
Figura 15 - Gráfico de \(f(x)=tg(x)\).
Resumindo o que foi aprendido até aqui sobre os parâmetros das funções trigonométricas, temos:
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Revisado por: Ferdinando Caíque Genghini Dantas Lobo
Formado em Matemática pela Universidade Estadual de Campinas (Unicamp), com mestrado na área pela Profmat - Unicamp. Atua como professor de Matemática desde 2012, nos colégios Asther (Campinas-SP) e Villa Lobos (Amparo-SP).
O parâmetro c e b alteram, respectivamente, nas funções trigonométricas:
