Função trigonométrica

Talvez você já deva ter ouvido falar em seno, cosseno e tangente no triângulo retângulo, envolvendo relações com o cateto oposto, cateto adjacente e hipotenusa. Contudo, a trigonometria no triângulo retângulo se limita para ângulos de até 90º. Assim, surgem as funções trigonométricas, como forma de complementar estes conceitos.

As principais funções trigonométricas são as funções seno, cosseno e tangente. Existem outras menos famosas, como secante, cossecante e cotangente. Neste texto, estudaremos somente as funções principais!

Figura 1 - Ciclo trigonométrico com as funções trigonométricas em destaque.  É importante saber que os valores x que compõem essas funções trigonométricas são ângulos, ok?!

Pela figura 1 mostrada acima, vemos que o eixo da função seno é o eixo vertical que passa pelo centro do ciclo trigonométrico. Beleza! Mas como associamos o valor de um ângulo com o valor do seno? Observe a figura 2 a seguir.

Figura 2 -Função seno  O valor do sen (x) de um ângulo x é a projeção da extremidade do arco no eixo vertical (o eixo do seno). Ou seja, o valor do sen (x) na figura 2 seria o valor do ponto A. Para ficar mais claro, observe outros exemplos abaixo.

Figura 3 - Exemplos da função seno 

Assim, podemos perceber que qualquer ângulo terá um valor de seno, já que podemos dar quantas voltas quisermos no ciclo trigonométrico! Assim, fica fácil notar que o domínio da função seno (ou seja, os valores de x que a função seno “aceita”) são todos os números do conjunto \(\mathbb{R}\). Já em relação a imagem desta função, temos que ela obedece a seguinte inequação:

\(-1\leq sen (x)\leq 1\), para todo x \(\in \mathbb{R}\)

Ou seja, o máximo valor que sen (x) pode assumir é igual a 1 e o mínimo valor é -1! A função seno nunca ultrapassará estes valores! Isso se explica porque o raio do ciclo trigonométrico é igual a 1, assim, torna-se impossível com que a função seno possua um valor acima de +1 ou abaixo de -1.

Além disso, através de uma simples observação, é fácil perceber que os sinais da função seno se comportam da maneira como é mostrada na figura 4.

Figura 4 - Quadro de sinais da função seno  

A função cosseno é bastante semelhante com a função seno, sendo que a principal diferença é que o cos (x) é o eixo horizontal no ciclo trigonométrico. Assim, a projeção da extremidade do arco (arco de ângulo x) no eixo horizontal representa o valor do cos (x). 

Figura 5 - Função cosseno  

Perceba que, neste caso, a única diferença em relação a função seno é que os eixos para a projeção do ponto mudaram! O domínio e a imagem da função cosseno seguem a mesma lógica da função seno, portanto:

• Domínio: todos os números do conjunto \(\mathbb{R}\).
• Imagem: \(-1\leq sen (x)\leq 1\), para todo x \(\in \mathbb{R}\).

Nesse sentido, note que o máximo e mínimo valor que a função cosseno adquire também são iguais a +1 e -1, respectivamente! 

Com relação aos sinais da função, observe a figura 6 a seguir, a qual identifica os sinais de cos (x) para cada quadrante do ciclo trigonométrico.

Figura 6- Quadro de sinais da função cosseno  

A função trigonométrica tangente é um pouco diferente das duas anteriores. O seu eixo tangencia o ciclo trigonométrico e os valores da tg (x) são a projeção para o eixo da tangente do segmento de reta que passa pelo centro do ciclo e pelo arco de valor x.

Figura 7- Função tangente 

Observe outro exemplo:

Figura 8- Função tangente 

Domínio

Ok, maravilha! Mas e o domínio e a imagem da função trigonométrica tangente? Bom, com essas duas imagens, fica mais fácil perceber que para os ângulos de 90º e 270º a função tangente não existe! 

Isso acontece porque, no caso destes ângulos, o segmento de reta não intercepta o eixo da tangente (eles são paralelos, como mostra a figura 9!). Além disso, é claro que para ângulos equivalentes a 90º e 270º o mesmo acontece, ou seja, ângulos que estão na mesma posição porém tem um número de voltas no ciclo trigonométrico diferentes. 

Exemplo: os ângulos 90º e 450º são ângulos correspondentes. Note que 90º+360º=450º, sendo que 360º equivale a uma volta no ciclo trigonométrico.

Figura 9 - Exemplo do porquê a tangente de 90º não existe  

Sabendo desses detalhes, podemos definir o domínio e a imagem da função tangente. O domínio será todos os ângulos, exceto 90º, 270º e seus correspondentes. Matematicamente, temos:

\(D=\{x\in \mathbb{R} \ | \ x\neq \frac{\pi }{2}+k\pi; k \in \mathbb{Z}\}\)

Podemos ler a sentença acima como: x pertence ao conjunto dos reais, tal que x tem que ser diferente de \(\frac{\pi }{2}+k\pi\), sendo que k pertence ao conjunto dos inteiros. Perceba que \(\frac{\pi }{2}\) é 90º, mas em radianos! Como \(\pi\) rad equivale a meia volta no ciclo, podemos dar k meias voltas no ciclo. Assim, a expressão acima define que a tangente, de fato, não existe para 90º e seus correspondentes!

Imagem

Em relação a imagem desta função trigonométrica, precisamos de um pouco de atenção. Vamos pensar no ciclo trigonométrico da figura 10 a seguir. Perceba que, conforme o arco, que começa no ponto B, vai se aproximando do ângulo de 90º, o valor da tangente vai subindo. Agora imagine que o arco tem o ângulo de 89,9º (ou seja, muito próximo de 90º, certo?!), neste caso, o valor da tangente de 89,9º será muito alto. Assim, podemos chegar tão perto o quanto quisermos do ângulo 90º (veja, podemos calcular a tangente de 89,9º; 89,99º; 89,999º; assim por diante), o que nos faz concluir que a tangente tende ao infinito nestes casos! Note que a lógica para o ângulo de 270º é a mesma.

Figura 10 - O valor da tg (x) sobe conforme x sobre (no primeiro quadrante).  

Assim, podemos definir que a imagem da tangente é o conjunto dos reais.

Um último detalhe, mas não menos importante, é a relação entre seno, cosseno e tangente, através da seguinte fórmula:

\(tg (x)=\frac{sen (x)}{cos (x)}\), com \(cos (x)\neq 0\)

Quadro de sinais

A partir das explicações dadas, fica fácil perceber que a tangente tem o seguinte quadro de sinais.

Figura 11 - Quadro de sinais da função tangente 

Revisado por: Ferdinando Caíque Genghini Dantas Lobo

Formado em Matemática pela Universidade Estadual de Campinas (Unicamp), com mestrado na área pela Profmat - Unicamp. Atua como professor de Matemática desde 2012, nos colégios Asther (Campinas-SP) e Villa Lobos (Amparo-SP).