A função trigonométrica tangente é um pouco diferente das duas anteriores. O seu eixo tangencia o ciclo trigonométrico e os valores da tg (x) são a projeção para o eixo da tangente do segmento de reta que passa pelo centro do ciclo e pelo arco de valor x.
Figura 7- Função tangente
Observe outro exemplo:
Figura 8- Função tangente
Domínio
Ok, maravilha! Mas e o domínio e a imagem da função trigonométrica tangente? Bom, com essas duas imagens, fica mais fácil perceber que para os ângulos de 90º e 270º a função tangente não existe!
Isso acontece porque, no caso destes ângulos, o segmento de reta não intercepta o eixo da tangente (eles são paralelos, como mostra a figura 9!). Além disso, é claro que para ângulos equivalentes a 90º e 270º o mesmo acontece, ou seja, ângulos que estão na mesma posição porém tem um número de voltas no ciclo trigonométrico diferentes.
Exemplo: os ângulos 90º e 450º são ângulos correspondentes. Note que 90º+360º=450º, sendo que 360º equivale a uma volta no ciclo trigonométrico.
Figura 9 - Exemplo do porquê a tangente de 90º não existe
Sabendo desses detalhes, podemos definir o domínio e a imagem da função tangente. O domínio será todos os ângulos, exceto 90º, 270º e seus correspondentes. Matematicamente, temos:
\(D=\{x\in \mathbb{R} \ | \ x\neq \frac{\pi }{2}+k\pi; k \in \mathbb{Z}\}\)
Podemos ler a sentença acima como: x pertence ao conjunto dos reais, tal que x tem que ser diferente de \(\frac{\pi }{2}+k\pi\), sendo que k pertence ao conjunto dos inteiros. Perceba que \(\frac{\pi }{2}\) é 90º, mas em radianos! Como \(\pi\) rad equivale a meia volta no ciclo, podemos dar k meias voltas no ciclo. Assim, a expressão acima define que a tangente, de fato, não existe para 90º e seus correspondentes!
Imagem
Em relação a imagem desta função trigonométrica, precisamos de um pouco de atenção. Vamos pensar no ciclo trigonométrico da figura 10 a seguir. Perceba que, conforme o arco, que começa no ponto B, vai se aproximando do ângulo de 90º, o valor da tangente vai subindo. Agora imagine que o arco tem o ângulo de 89,9º (ou seja, muito próximo de 90º, certo?!), neste caso, o valor da tangente de 89,9º será muito alto. Assim, podemos chegar tão perto o quanto quisermos do ângulo 90º (veja, podemos calcular a tangente de 89,9º; 89,99º; 89,999º; assim por diante), o que nos faz concluir que a tangente tende ao infinito nestes casos! Note que a lógica para o ângulo de 270º é a mesma.
Figura 10 - O valor da tg (x) sobe conforme x sobre (no primeiro quadrante).
Assim, podemos definir que a imagem da tangente é o conjunto dos reais.
Um último detalhe, mas não menos importante, é a relação entre seno, cosseno e tangente, através da seguinte fórmula:
\(tg (x)=\frac{sen (x)}{cos (x)}\), com \(cos (x)\neq 0\)
Quadro de sinais
A partir das explicações dadas, fica fácil perceber que a tangente tem o seguinte quadro de sinais.
Figura 11 - Quadro de sinais da função tangente