Seno, Cosseno e Tangente

Chamamos um triângulo \( ABC\) de triângulo retângulo se um dos seus ângulos internos for um ângulo reto, isto é, tiver medida igual a 90º.

No triângulo \( ABC\) a seguir, dizemos que ele é retângulo em \( A\) pois \( \hat{A}=90º\).

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Elementos de um triângulo retângulo

Em um triângulo qualquer, o lado de maior medida é sempre oposto ao maior ângulo. Assim, em um triângulo retângulo, o maior lado é aquele oposto ao ângulo de 90º.

Definimos o maior lado de um triângulo retângulo com sua hipotenusa e os outros dois restantes, os seus catetos.

A partir do triângulo da figura acima, temos:

$$ \left\{\begin{array}{cl} \bar{BC}:&\text{hipotenusa} \\ \bar{AB},\bar{AC}:&\text{catetos} \end{array}\right.$$

A trigonometria em um triângulo retângulo irá relacionar as medidas dos ângulos agudos (menores que 90º) de um triângulo retângulo com as medidas de seus lados.

Fixemos assim o ângulo agudo \( \theta\) no triângulo retângulo a seguir.

Claramente, a hipotenusa do triângulo \( ABC\) acima é o lado \( \bar{BC}\) e os catetos são os lados \( \bar{AB}\) e \( \bar{AC}\).

Porém, a partir do ângulo \( \theta\), obtemos duas novas nomenclaturas: chamamos o lado \( \bar{AC}\) de cateto oposto ao ângulo \( \theta\) e de cateto adjacente, o lado \( \bar{AB}\).

Definimos então o seno de \( \theta\), e escrevemos \( \sin\theta\) a razão entre as medidas do cateto oposto a \( \theta\) e da hipotenusa:

$$ \sin\theta=\frac{AC}{BC}\Rightarrow\sin\theta=\frac{b}{a}$$

O cosseno de \( \theta\), denotado por \( \cos\theta\), é a razão entre as medidas do cateto adjacente a \( \theta\) e da hipotenusa:

$$ \cos\theta=\frac{AB}{BC}\Rightarrow\cos\theta=\frac{c}{a}$$

E a tangente de \( \theta\), escrita como \( \tan\theta\), é a razão entre as medidas dos catetos oposto e adjacente a \( \theta\):

$$latez \tan\theta=\frac{AC}{AB}\Rightarrow\tan\theta=\frac{b}{c}$$

Observações

Note que os valores de tais razões, isto é, os valores de \( \sin\theta,\cos\theta\) e \( \tan\theta\) dependem do ângulo \( \theta\) a ser tomado pois, para cada arco fixado, os catetos oposto e adjacente se alteram.

Além disso, é possível mostrar que não importa o tamanho de um triângulo pois as medidas das razões trigonométricas são frações equivalentes para um ângulo dado.

Ângulos complementares

Consideremos os ângulos agudos de medidas \( \alpha\) e \( \beta\) no triângulo retângulo abaixo:

Sendo as medidas da hipotenusa e dos catetos iguais a respectivamente a \( a,b,c\), temos que:

$$ \sin\alpha=\frac{b}{a},\quad\cos\alpha=\frac{c}{a}$$

E

$$ \sin\beta=\frac{c}{a},\quad\cos\beta=\frac{b}{a}$$

Observe que:

$$ \sin\alpha=\cos\beta,\quad\cos\alpha=\sin\beta$$

Ou seja, se dois ângulos forem complementares, isto é, se a soma de suas medidas for igual a 90º, então o valor do seno de um é igual ao cosseno de outro e vice-versa.

Tangente

Considere o triângulo \( ABC\) abaixo retângulo em \( A\) com as medidas expressas a seguir e o ângulo \( \theta\) fixado.

Notemos que

$$ \sin\theta=\frac{b}{a},\quad\cos\theta=\frac{c}{a},\quad\tan\theta=\frac{b}{c}$$

Mas

$$ \frac{\sin\theta}{\cos\theta}=\frac{\frac{b}{a}}{\frac{c}{a}}=\frac{b}{c}=\tan\theta$$

Ou seja, para qualquer ângulo \( \theta\), tem-se:

$$ \tan\theta=\frac{\sin\theta}{\cos\theta}$$

Não há necessidade de se decorar os valores do seno, cosseno e tangente de todos os ângulos agudos. Quando preciso, eles serão dados no enunciado do exercício.

Porém, tal afirmação acima não é válida para três ângulos (ou arcos) cujas razões trigonométricas devem ser conhecidas de cor, uma vez que, em geral, suas medidas não são informadas nas questões.

Os ângulos em questão são: 30º, 45º e 60º e comumente são chamados de arcos notáveis.

A tabela a seguir dá os valores do seno, do cosseno e da tangente de cada um deles: