Posições relativas entre retas

Você já deve ter ouvido falar em retas paralelas e perpendiculares, certo? É isso que vamos abordar neste texto, as posições relativas entre duas retas.

É importante mencionar que essas retas devem estar situadas no mesmo plano, ok?

Duas retas “p” e “q” coplanares podem assumir as seguintes posições, conforme mostra a figura abaixo.

Posições relativas entre duas retas.   

Agora que já vimos como as retas podem se dispor no plano, perceba que “p” e “q” possuem equações da forma geral:

$$(p)\rightarrow a_{1}x+b_{1}y+c_{1}=0$$

$$(q)\rightarrow a_{2}x+b_{2}y+c_{2}=0$$

Dessa forma, temos um sistema S com as equações dadas:

$$\left\{\begin{matrix}a_{1}x+b_{1}y+c_{1}=0\\a_{2}x+b_{2}y+c_{2}=0\end{matrix}\right.$$

Existem 3 respostas para o sistema S. Vamos ver quais são elas!

Retas concorrentes

Quando temos retas concorrentes, vemos que elas se cruzam em um único ponto. Portanto, o seu sistema será um sistema denominado SPD (Sistema Possível e Determinado) e possui solução única. O sistema é possível pois ele possui solução, e determinado porque essa solução é única.

Podemos resolver o seguinte determinante para verificar se o sistema é SPD:

Se

\(\ \begin{vmatrix}a_{1} & b_{1}\\ a_{2} & b_{2}\end{vmatrix}\neq 0\rightarrow SPD\)

Neste caso, teremos que os coeficientes angulares (o número que representa a inclinação) das retas são diferentes (o que faz sentido, já que elas se cruzam).

$$a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}\neq 0\rightarrow \frac{a_{1}}{b_{1}}\neq \frac{a_{2}}{b_{2}}\rightarrow m_{p}\neq m_{q}$$

Retas paralelas (coincidentes)

Neste caso, as retas estão sobrepostas, assim, elas se interceptam em infinitos pontos. Por isso dizemos que este será um sistema SPI (Sistema Possível e Indeterminado) e possui infinitas soluções. Possível pois o sistema tem solução, e indeterminado porque são infinitas soluções, então nós não conseguimos determiná-las.

Retas paralelas (distintas)

Nessa situação, as retas nunca se encontram, então não teremos solução! O sistema é denominado de SI (Sistema Impossível).

Podemos resolver o mesmo determinante de antes para verificar se o sistema é SPI ou SI:

Se

$$\ \begin{vmatrix}a_{1} & b_{1}\\ a_{2} & b_{2}\end{vmatrix}= 0\rightarrow SPI \ ou \ SI$$

Nestes dois casos, teremos que os coeficientes angulares (o número que representa a inclinação) das retas são iguais (o que faz sentido, já que elas possuem a mesma inclinação).

$$a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}=0\rightarrow \frac{a_{1}}{b_{1}}= \frac{a_{2}}{b_{2}}\rightarrow m_{p}= m_{q}$$

Resumindo:

Observe a figura abaixo que resume o que foi explicado.

Resumo das soluções do sistema S.  

Retas perpendiculares

Uma informação muito importante é que duas retas “p” e “q” serão perpendiculares se, e somente se, tivermos a seguinte relação entre os seus coeficientes angulares:

$$m_{p}\cdot m_{q}=-1$$

• Exemplo 1

Determine a equação da reta “r” perpendicular à reta 2y-x+6=0 (reta “s”), que passe pelo ponto A(2; -1).

Resolução: primeiro, devemos colocar a equação da reta s na forma reduzida, a fim de que fique explícito o seu coeficiente angular:

$$2y-x+6=0\rightarrow y=\frac{x}{2}-3$$

Assim, vemos que \(m_{s}=\frac{1}{2}\). Então:

$$m_{r}\cdot m_{s}=-1\rightarrow m_{r}\cdot \frac{1}{2}=-1\rightarrow m_{r}=-2$$

Nesse sentido:

$$y-y_{0}=-2(x-x_{0})\rightarrow y+1=-2(x-2)\rightarrow y=-2x+3$$

• Exemplo 2

Seja um triângulo de vértices A(0; 0), B(0; 4) e C(-8; 0), determine a equação da reta-suporte da altura relativa ao lado $$\overline{BC}$$.

Resolução: 

$$m_{r}\cdot m_{\overline{BC}}=-1$$

$$m_{\overline{BC}}=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{0-4}{-8-0}=\frac{1}{2}$$

Então, temos \(m_{r}=-2\). Determinando a reta que tem \(m_{r}=-2\) e passa pelo ponto  A(0; 0):

$$y-0=-2(x-0)\rightarrow 2x+y=0$$

Considere duas retas “p” e “q” não perpendiculares entre si e de coeficientes angulares \(m_{p}O\) e \(m_{q}\) distintos. O menor ângulo formado pelas duas retas pode ser determinado por:

$$tg \ \Theta =\left | \frac{m_{q}-m_{p}}{1+m_{q}\cdot m_{p}} \right |$$

Revisado por: Ferdinando Caíque Genghini Dantas Lobo

Formado em Matemática pela Universidade Estadual de Campinas (Unicamp), com mestrado na área pela Profmat - Unicamp. Atua como professor de Matemática desde 2012, nos colégios Asther (Campinas-SP) e Villa Lobos (Amparo-SP).