Uma proporção é a equivalência entre duas divisões, sendo que o resultado da operação demonstra uma relação entre estes dois valores. De uma forma geral, a proporção dá a ideia de que, por exemplo, entre dois elementos x e y:
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Como foi apresentado na introdução acima, existem dois tipos de proporções entre os elementos: diretamente proporcionais e inversamente proporcionais. Vamos entender cada uma delas.
É o caso de elementos que estão relacionados por uma razão:
\(\frac{x_{1}}{y_{1}}=\frac{x_{2}}{y_{2}}=...=\frac{x_{n}}{y_{n}}=k\)
Sendo que k é o resultado dessa razão. Perceba que k não muda de valor. Assim, caso \(x_{2}\) seja maior que \(x_{1}\), note que \(y_{2}\) também deverá ser maior que \(y_{1}\), para que o valor de k continue o mesmo. O contrário também é verdadeiro: se \(x_{2}\) for menor que \(x_{1}\), \(y_{2}\) deverá ser menor que \(y_{1}\).
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É o caso de elementos que estão relacionados por um produto:
\(x_{1}\cdot y_{1}=x_{2}\cdot y_{2}=...=x_{n}\cdot y_{n}=k\)
Note agora que, caso \(x_{2}\) seja maior que \(x_{1}\), \(y_{2}\) deverá ser menor que \(y_{1}\) para que o valor de k continue o mesmo. O contrário também é verdadeiro: se \(x_{2}\) for menor que \(x_{1}\), \(y_{2}\) deverá ser maior que \(y_{1}\).
A proporcionalidade possui algumas propriedades que podem ser muito úteis em determinadas situações. Vamos ver quais são elas?
A regra de três é amplamente aplicável e até define, de certo modo, o conceito de proporcionalidade. Através da igualdade de duas razões, podemos multiplicar em cruz as grandezas e determinar o elemento de interesse.
Exemplo 1) Determine o valor de x na expressão \(\frac{10}{x}=\frac{16}{5}\).
Solução: pela regra de três:
\(\frac{10}{x}=\frac{16}{5}\Rightarrow 10\cdot 5=16x\Rightarrow x=\frac{10\cdot 5}{16}\Rightarrow x=\frac{50}{16}\Rightarrow x=\frac{25}{8}\)
Um grande artifício que contempla o conceito da proporcionalidade é o Teorema de Tales. Segundo o teorema, se duas retas são transversais de um feixe de retas paralelas, então a razão (ou seja, a divisão) entre dois pares de segmentos correspondentes é igual. Não entendeu? Dá uma olhada nas imagens e no exemplo a seguir!
Nesse sentido, a partir da figura 2 e do enunciado do teorema, vemos que a seguinte relação é verdadeira:
\(\frac{AC}{CE}=\frac{BD}{DF}\)
Exemplo 2) Determine o valor de x.
Solução: a partir do Teorema de Tales, temos que:
\(\frac{4}{15}=\frac{x}{9}\Rightarrow 15x=4\cdot 9\Rightarrow x=\frac{4\cdot 9}{15}\Rightarrow x=\frac{36}{15}\Rightarrow x=\frac{12}{5}\)
Três amigos decidiram apostar em uma rifa para tentar ganhar um prêmio de 100 reais. O pagamento do bilhete seria feito feito com base em proporções: João pagaria 30%, Roberto 20% e Carlos 50%. Sabendo que o bilhete custa R$ 10,00, caso os amigos ganhem, qual seria o valor justo que cada um deveria receber e como é denominada o tipo de proporção em questão?