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Proporcionalidade: o que é, fórmulas, exemplos e exercícios

Matemática - Manual do Enem
Matheus Lemes Publicado por Matheus Lemes
 -  Última atualização: 5/12/2024

Introdução

Uma proporção é a equivalência entre duas divisões, sendo que o resultado da operação demonstra uma relação entre estes dois valores. De uma forma geral, a proporção dá a ideia de que, por exemplo, entre dois elementos x e y:

  • Se x crescer, y também crescerá (elementos diretamente proporcionais);
  • Se x crescer, y será reduzido (elementos inversamente proporcionais).

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Índice

Tipos de proporção

Como foi apresentado na introdução acima, existem dois tipos de proporções entre os elementos: diretamente proporcionais e inversamente proporcionais. Vamos entender cada uma delas.

Grandezas diretamente proporcionais

É o caso de elementos que estão relacionados por uma razão:

x1y1=x2y2=...=xnyn=k

Sendo que k é o resultado dessa razão. Perceba que k não muda de valor. Assim, caso x2 seja maior que x1, note que y2 também deverá ser maior que y1, para que o valor de k continue o mesmo. O contrário também é verdadeiro: se x2 for menor que x1, y2 deverá ser menor que y1

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Grandezas inversamente proporcionais

É o caso de elementos que estão relacionados por um produto:

x1y1=x2y2=...=xnyn=k

Note agora que, caso x2 seja maior que x1, y2 deverá ser menor que y1 para que o valor de k continue o mesmo. O contrário também é verdadeiro: se x2 for menor que x1, y2 deverá ser maior que y1.

Propriedades

A proporcionalidade possui algumas propriedades que podem ser muito úteis em determinadas situações. Vamos ver quais são elas?

  • 1) ab=cd=a+bb=c+dd
  • 2) ab=cd=a+cb+d
  • 3) ab=cdacbd=a2b2=c2d2

Regra de três

regra de três é amplamente aplicável e até define, de certo modo, o conceito de proporcionalidade. Através da igualdade de duas razões, podemos multiplicar em cruz as grandezas e determinar o elemento de interesse.

Exemplo 1) Determine o valor de x na expressão 10x=165.

Solução: pela regra de três:

10x=165105=16xx=10516x=5016x=258

O Teorema de Tales

Um grande artifício que contempla o conceito da proporcionalidade é o Teorema de Tales. Segundo o teorema, se duas retas são transversais de um feixe de retas paralelas, então a razão (ou seja, a divisão) entre dois pares de segmentos correspondentes é igual. Não entendeu? Dá uma olhada nas imagens e no exemplo a seguir!

Ilustração do Teorema de Tales. 

Nesse sentido, a partir da figura 2 e do enunciado do teorema, vemos que a seguinte relação é verdadeira:

ACCE=BDDF

Exemplo 2) Determine o valor de x.

Ilustração do exemplo 2. 

Solução: a partir do Teorema de Tales, temos que:

415=x915x=49x=4915x=3615x=125

Fórmulas

Revisado por: Ferdinando Caíque Genghini Dantas Lobo

Formado em Matemática pela Universidade Estadual de Campinas (Unicamp), com mestrado na área pela Profmat - Unicamp. Atua como professor de Matemática desde 2012, nos colégios Asther (Campinas-SP) e Villa Lobos (Amparo-SP).

 

Exercício de fixação
Passo 1 de 3
Quero Bolsa

Três amigos decidiram apostar em uma rifa para tentar ganhar um prêmio de 100 reais. O pagamento do bilhete seria feito feito com base em proporções: João pagaria 30%, Roberto 20% e Carlos 50%. Sabendo que o bilhete custa R$ 10,00, caso os amigos ganhem, qual seria o valor justo que cada um deveria receber e como é denominada o tipo de proporção em questão?

A João 3 reais, Roberto 2 reais e Carlos 5 reais - Inversamente proporcional.
B João 30 reais, Roberto 20 reais e Carlos 50 reais - Diretamente proporcional.
C João 3 reais, Roberto 2 reais e Carlos 5 reais - Diretamente proporcional.
D João 30 reais, Roberto 20 reais e Carlos 50 reais - Inversamente proporcional.
E Nenhuma das anteriores.
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