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Matemática

Proporcionalidade

Matheus Lemes
Publicado por Matheus Lemes
Última atualização: 13/6/2019

Introdução

Uma proporção é a equivalência entre duas divisões, sendo que o resultado da operação demonstra uma relação entre estes dois valores. De uma forma geral, a proporção dá a ideia de que, por exemplo, entre dois elementos y:

  • Se crescer, também crescerá (elementos diretamente proporcionais);
  • Se crescer, y será reduzido (elementos inversamente proporcionais).

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Tipos de proporção

Como foi apresentado na introdução acima, existem dois tipos de proporções entre os elementos: diretamente proporcionais e inversamente proporcionais. Vamos entender cada uma delas.

Grandezas diretamente proporcionais

É o caso de elementos que estão relacionados por uma razão:

\(\frac{x_{1}}{y_{1}}=\frac{x_{2}}{y_{2}}=...=\frac{x_{n}}{y_{n}}=k\)

Sendo que é o resultado dessa razão. Perceba que não muda de valor. Assim, caso \(x_{2}\) seja maior que \(x_{1}\), note que \(y_{2}\) também deverá ser maior que \(y_{1}\), para que o valor de continue o mesmo. O contrário também é verdadeiro: se \(x_{2}\) for menor que \(x_{1}\), \(y_{2}\) deverá ser menor que \(y_{1}\). 

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Grandezas inversamente proporcionais

É o caso de elementos que estão relacionados por um produto:

\(x_{1}\cdot y_{1}=x_{2}\cdot y_{2}=...=x_{n}\cdot y_{n}=k\)

Note agora que, caso \(x_{2}\) seja maior que \(x_{1}\), \(y_{2}\) deverá ser menor que \(y_{1}\) para que o valor de continue o mesmo. O contrário também é verdadeiro: se \(x_{2}\) for menor que \(x_{1}\), \(y_{2}\) deverá ser maior que \(y_{1}\).

Propriedades

A proporcionalidade possui algumas propriedades que podem ser muito úteis em determinadas situações. Vamos ver quais são elas?

  • 1) \(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{a+b}{b}=\frac{c+d}{d}\)
  • 2) \(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{a+c}{b+d}\)
  • 3) \(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\Rightarrow         \frac{ac}{bd}=\frac{a^{2}}{b^{2}}=\frac{c^{2}}{d^{2}}\)

Regra de três

regra de três é amplamente aplicável e até define, de certo modo, o conceito de proporcionalidade. Através da igualdade de duas razões, podemos multiplicar em cruz as grandezas e determinar o elemento de interesse.

Exemplo 1) Determine o valor de x na expressão \(\frac{10}{x}=\frac{16}{5}\).

Solução: pela regra de três:

\(\frac{10}{x}=\frac{16}{5}\Rightarrow 10\cdot 5=16x\Rightarrow x=\frac{10\cdot 5}{16}\Rightarrow x=\frac{50}{16}\Rightarrow x=\frac{25}{8}\)

O Teorema de Tales

Um grande artifício que contempla o conceito da proporcionalidade é o Teorema de Tales. Segundo o teorema, se duas retas são transversais de um feixe de retas paralelas, então a razão (ou seja, a divisão) entre dois pares de segmentos correspondentes é igual. Não entendeu? Dá uma olhada nas imagens e no exemplo a seguir!

Ilustração do Teorema de Tales. 

Nesse sentido, a partir da figura 2 e do enunciado do teorema, vemos que a seguinte relação é verdadeira:

\(\frac{AC}{CE}=\frac{BD}{DF}\)

Exemplo 2) Determine o valor de x.

Ilustração do exemplo 2. 

Solução: a partir do Teorema de Tales, temos que:

\(\frac{4}{15}=\frac{x}{9}\Rightarrow 15x=4\cdot 9\Rightarrow x=\frac{4\cdot 9}{15}\Rightarrow x=\frac{36}{15}\Rightarrow x=\frac{12}{5}\)

Fórmulas



Exercícios

Exercício 1
(Quero Bolsa)

Três amigos decidiram apostar em uma rifa para tentar ganhar um prêmio de 100 reais. O pagamento do bilhete seria feito feito com base em proporções: João pagaria 30%, Roberto 20% e Carlos 50%. Sabendo que o bilhete custa R$ 10,00, caso os amigos ganhem, qual seria o valor justo que cada um deveria receber e como é denominada o tipo de proporção em questão?

Ilustração: Rapaz corpulento de camiseta, short e tênis acenando

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