Secante, cossecante e cotangente

Secante, cossecante e contangente são funções trigonométricas secundárias que se relacionam de maneira inversa com as funções seno, cosseno e tangente.

No círculo trigonométrico, vamos tomar o ponto \( P\) do primeiro quadrante, de modo que \( P\hat{O}A=\theta\), conforme ilustra a figura a seguir:

Vamos traçar a reta \( r\) que passa pelo ponto \( P\) fixado acima de tal modo que a reta \( r\) seja tangente à circunferência:

Pela tangência, então a reta \( r\) é perpendicular ao segmento \( \bar{OP}\), isto é, forma com ele um ângulo de 90º.

Evidentemente, a reta \( r\) cruza o eixo \( x\) em um ponto que chamaremos de \( R\):

Chamamos de secante do ângulo \( \theta\) a medida do segmento \( \bar{OR}\) e escrevemos:

$$ \sec\theta=OP$$

Pelo caso AA~, podemos concluir que os triângulos \( OMP\) e \( OPR\) são semelhantes entre si.

Assim, da trigonometria do triângulo retângulo e do fato de que \( OP=1\) pois o círculo é unitário, temos:

$$ \cos\theta=\frac{OP}{OR}=\frac{1}{\sec\theta}$$

Ou seja:

$$ \sec\theta=\frac{1}{\cos\theta}$$

Isto nos diz que a secante de um ângulo é o inverso da medida do cosseno desse ângulo.

Como construído anteriormente, tomemos a reta \( r\) tangente à circunferência de raio de medida 1 e com origem no centro do plano cartesiano, de tal modo que \( r\) passa pelo ponto \( P\) do círculo trigonométrico:

Sendo o ângulo formado entre \( \bar{OP}\) e a reta \( r\) igual a 90º, pois eles são perpendiculares.

Chamemos de \( \theta\) o ângulo criado a partir do arco \( \stackrel \frown{AP}\), isto é, \( \theta=P\hat{O}A\).

E nomeando de \( S\) o ponto de intersecção da reta \( r\) com o eixo \( y\), então definimos a medida do segmento \( \bar{OS}\) como sendo a cossecante do ângulo \( \theta\):

E escrevemos \( \csc\theta=OS\)

De maneira semelhante, podemos concluir pelo caso AA~, que os triângulos \( OPS\) e \( OPM\) são semelhantes entre si, ou seja, os ângulos \( P\hat{O}A\) e \( P\hat{S}O\) são congruentes e têm medida igual \( \theta\):

Observe que a medida do segmento \( \bar{OP}\) vale 1, pois o mesmo é a distância de um ponto ao centro da circunferência, isto é, o seu raio que, neste caso, tem medida igual a 1.

Assim, através da trigonometria no triângulo retângulo aplicada ao triângulo \( OPS\), temos que

$$ \sin\theta=\frac{OP}{OS}\Rightarrow\sin\theta=\frac{1}{\csc\theta}$$

Ou seja:

$$ \csc\theta=\frac{1}{\sin\theta}$$

Portanto, a cossecante de um ângulo equivale ao inverso do seno desse ângulo.

A partir do círculo trigonométrico, consideremos a reta \( s\) que passa ponto \( B(0,1)\) e é tangente à circunferência neste ponto:

Consideremos também o ponto \( P\) qualquer da circunferência e chamemos de \( \theta\) o ângulo \( P\hat{O}A\):

Prolongando o lado \( \bar{OP}\) até a reta \( s\) até um ponto \( T\):

Chamamos de cotangente do ângulo \( \theta\) a medida do segmento \( \bar{BT}\) e escrevemos:

$$ \cot\theta=BT$$

Notemos que os triângulos \( OBT\) e \( OMP\) são semelhantes pelo caso AA~ de onde implica que

$$ \theta=P\hat{O}A=B\hat{T}O$$

E como a circunferência tem raio 1, então \( OB=1\). Logo, no triângulo \( OBT\):

$$ \sin\theta=\frac{OB}{OT}\Rightarrow\sin\theta=\frac{1}{OT}$$

E

$$ \cos\theta=\frac{BS}{OT}\Rightarrow\cos\theta=\frac{\cot\theta}{OT}$$

E sendo

$$ \tan\theta=\frac{\sin\theta}{\cos\theta}$$

Segue que

$$ \frac{\cos\theta}{\sin\theta}=\frac{\frac{\cot\theta}{OT}}{\frac{1}{OT}}=\cot\theta$$

Ou seja,

$$ \cot\theta=\frac{\cos\theta}{\sin\theta}\Rightarrow\cot\theta=\frac{1}{\tan\theta}$$

De onde se conclui que a cotangente de um ângulo é o inverso da tangente desse ângulo.