Semelhança de Polígonos

Podemos dizer que polígonos são figuras geométricas fechadas formadas por segmentos de reta que se unem em seus extremos, como mostra a figura 1.

Exemplos de Polígonos

Em alguns casos, é possível observar uma semelhança entre essas figuras geométricas. Vamos ver como isso acontece?

Para que dois polígonos sejam semelhantes, é necessário que eles se encaixem nas seguintes condições:

• Possuem o mesmo número de lados;
• Os seus ângulos correspondentes são iguais;
• Os seus lados correspondentes possuem uma razão de proporção;
• Essa razão de proporção deve ser a mesma para todos os lados do polígono.

Vamos ver alguns exemplos para clarear a ideia, ok?

Exemplo 1) Observe os quadrados abaixo:

Vemos que estes quadrados seguem os critérios para a semelhança, pois possuem o mesmo número de lados, seus ângulos correspondentes são iguais (todos são ângulos retos pois trata-se de quadrados), os seus lados correspondentes tem razão de proporção \(\frac{3}{2}\) e como todos os lados são iguais (pois trata-se de quadrados), essa razão é a mesma para todos estes lados.

Exemplo 2) Observe os trapézios a seguir e determine o valor de x.

Solução: vamos verificar se os polígonos são semelhantes.

• As figuras possuem o mesmo número de lados;
• Os seus ângulos correspondentes são iguais (veja que o segundo trapézio está invertido, mas mesmo assim seus ângulos continuam sendo iguais aos do primeiro trapézio);
• Vamos calcular a razão de proporção entre os lados a partir dos lados AB e HG e, então, verificar se essa razão é a mesma para os lados AD/HE e BC/GF:

\(\frac{15,75}{4,5}=3,5=k\)

A nossa razão de proporção é k=3,5. Assim:

\(2,5\cdot 3,5=8,75\) (lados AD/HE e BC/GF verificados)

Portanto, para determinar x, como os polígonos são semelhantes, basta fazer:

\(x=2\cdot 3,5\Rightarrow x=7\)

Uma importante propriedade entre polígonos semelhantes é que os seus perímetros e as suas diagonais possuem proporcionalidade, igual a razão de proporção entre seus lados.

Exemplo 3) Se temos um quadrado de lado 5 e outro quadrado de lado 7, sabemos que a razão de proporção é igual a \(k=\frac{7}{5}\). O perímetro destes quadrados vale \(p_{1}=4\cdot 5=20\) e \(p_{2}=4\cdot 7=28\), respectivamente. Conferindo pela razão de proporção:

\(p_{2}=20\cdot \frac{7}{5}=\frac{140}{5}=28\)

Veja abaixo outro tipos de polígonos semelhantes.