Info Icon Ajuda Help Icon Ajuda
Matemática

Arcos simétricos

Matheus Lemes
Publicado por Matheus Lemes
Última atualização: 6/1/2020

Introdução

Se você já estudou seno, cosseno e tangente, com certeza deve conhecer o ciclo trigonométrico, certo? Neste importante elemento da trigonometria, é possível observar uma característica denominada arcos simétricos!

Figura 1  - Ciclo trigonométrico.

Para que não haja dúvidas, lembre-se de que arco, neste caso, refere-se a um ângulo no ciclo trigonométrico, beleza?!

Ângulos notáveis

As questões de provas e vestibulares que abordam os conceitos de trigonometria normalmente exigem que você conheça os ângulos notáveis, ou seja, aqueles ângulos que são comumente usados nos exercícios, que precisam ser decorados.

Para refrescar a memória, segue abaixo uma tabela dos ângulos notáveis para as funções seno, cosseno e tangente:


30º45º60º90º180º270º360º
sen012223210-10
cos13222120-101
tg03313não existe0não existe0

Tabela 1 - Ângulos notáveis e seus valores para as funções seno, cosseno e tangente.

Show! Já lembramos do ciclo trigonométrico e dos seus ângulos notáveis. Mas… e se, por exemplo, uma questão abordar o ângulo de 135º, que não é notável, o que fazemos? 

Arcos simétricos

Os arcos simétricos são importantes pois nos ajudam a determinar valores de alguns ângulos não notáveis a partir dos ângulos notáveis. A imagem abaixo ilustra a situação comentada:

Figura 2 - Arcos simétricos ao ângulo de 45º.

O segredo desse conteúdo é entender a simetria do ciclo trigonométrico, a partir da figura 2! Observando essa imagem, podemos concluir que:

  • sen (45º) = sen (135º)
  • cos (135º) = cos (225º)
  • sen (225º) = sen (315º)
  • cos (45º) = cos (315º)

Além disso, podemos deduzir também que:

  • cos (45º) = -cos (135º)
  • sen (45º) = -sen (315º)
  • E assim por diante…

Uma vez compreendida e visualizada essa simetria, fica fácil determinar os valores do seno e cosseno para os outros ângulos, não é mesmo?

De forma geral, temos o seguinte esquema:

Figura 3 - Generalização dos arcos simétricos.

Assim, com o auxílio da figura 3, podemos afirmar que:

  • Para o seno:
  • sen (x) = sen (180º - x)
  • sen (x) = -sen (180º + x)
  • sen (x) = -sen (360º - x)
  • Para o cosseno:
  • cos (x) = -cos (180º - x)
  • cos (x) = -cos (180º + x)
  • cos (x) = cos (360º - x)

Atenção! Lembre-se de que a explicação de arcos simétricos, neste texto, foi feita utilizando a unidade em graus, mas todos os ângulos e fórmulas aqui mostrados podem ser usados com a unidade em radianos, sem nenhum problema!

Fórmulas


Exercícios

Exercício 1
(Quero Bolsa)

O seno de 240º é igual a:

Ilustração: Rapaz corpulento de camiseta, short e tênis acenando

Inscreva-se abaixo e receba novidades sobre o Enem, Sisu, Prouni e Fies:

Carregando...