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Matemática

Determinantes

Matheus Lemes
Publicado por Matheus Lemes
Última atualização: 8/4/2019

Introdução

Determinantes são números que conseguem compactar as informações de uma matriz e são muito usados para a resolução de sistemas lineares e em geometria analítica. É importante saber que eles sempre estão associados a matrizes quadradas!

A representação do determinante é feita com dois riscos paralelos:

\begin{vmatrix}1 & 2\\ 5 & 0\end{vmatrix}

Vamos ver como calcular o determinante conforme a ordem da matriz aumenta.

Determinante de uma matriz de ordem 1

O determinante de uma matriz de ordem 1 é igual ao próprio elemento da matriz

Exemplos:

  • \begin{vmatrix}3\end{vmatrix}=3
  • \begin{vmatrix}-1\end{vmatrix}=-1

Determinante de uma matriz de ordem 2

O determinante de uma matriz de ordem 2 ainda é fácil de calcular. A fórmula é a seguinte:

\begin{vmatrix}a & b\\ c & d\end{vmatrix}=ad-bc

Vemos que ele é calculado pelo produto dos elementos da diagonal principal menos o produto dos elementos da diagonal secundária.

    Alguns exemplos:

  • \begin{vmatrix}3 & 5\\ 1 & 0\end{vmatrix}=3\cdot 0-5\cdot 1=-5
  • \begin{vmatrix}\frac{1}{2} & 11\\ \\ 2 & 4\end{vmatrix}=\frac{1}{2}\cdot 4-11\cdot 2=-20
  • \begin{vmatrix}15& 3\\  1 & 6\end{vmatrix}=15\cdot 6-3\cdot 1=87

Determinante de uma matriz de ordem 3

Para resolver esse tipo de determinante, é utilizada a Regra de Sarrus.

Regra de Sarrus

Vamos usar o determinante abaixo como exemplo para mostrar como a regra funciona!

\begin{vmatrix}4 & 3 & 7\\ 6 & 1 & 0\\ -2 & 5 & 5\end{vmatrix}

1º passo) Repetimos as duas primeiras colunas no lado esquerdo.

\begin{vmatrix}4 & 3 & 7\\ 6 & 1 & 0\\ -2 & 5 & 5\end{vmatrix}\begin{matrix}4 & 3\\ 6 & 1\\ -2 & 5\end{matrix}

2º passo) Multiplicamos os elementos na direção da diagonal principal e somamos os resultados.

3º passo) Multiplicamos os elementos na direção da diagonal secundária e somamos os resultados.

4º passo) O determinante será, então:

det={\color{Red}(4\cdot 1\cdot 5)+(3\cdot 0\cdot (-2))+(7\cdot 6\cdot 5)}{\color{Blue}-(3\cdot 6\cdot 5)-(4\cdot 0\cdot 5)-(7\cdot 1\cdot (-2))}=154

Propriedades dos determinantes

Vamos listar algumas propriedades interessantes que podem nos ajudar na hora da resolução de exercícios.

  • Fileira nula: se existir uma fileira (linha ou coluna) de zeros em qualquer matriz quadrada, então o seu determinante vale zero.
  • Multiplicação de uma fila por uma constante: se multiplicarmos uma fileira de uma matriz quadrada por uma constante “c” qualquer, o determinante da nova matriz também será multiplicado por “c”.
  • Troca de fileiras paralelas: em uma matriz quadrada, caso os elementos de fileiras paralelas troquem de posição, o determinante trocará de sinal.
  • Fileiras paralelas iguais: uma matriz que possua duas fileiras paralelas iguais possui um determinante igual a zero.
  • Fileiras paralelas proporcionais: uma matriz que possua fileiras paralelas proporcionais possui um determinante igual a zero.
  • Teorema de Binet: sejam A e B matrizes quadradas de mesma ordem, temos que det(A\cdot B)=detA\cdot detB.
  • Determinante de matriz triangular: o determinante de uma matriz diagonal é o produto dos elementos da diagonal principal.
    OBS: repare que toda matriz identidade é diagonal, então o seu determinante vale 1.
  • \begin{bmatrix}1 & 0 & 0\\ 0 & 1 &0 \\ 0 & 0 & 1\end{bmatrix}\rightarrow detI_{n}=1

  • Condição de existência da matriz inversauma matriz quadrada de ordem “n” é inversível se, e somente se, det A\neq 0. Além disso, podemos calcular o determinante da matriz inversa por:
  • detA^{-1}=\frac{1}{detA}

  • Determinante de matriz transposta: o determinante de uma matriz qualquer é igual ao determinante da sua transposta. Simbolicamente:
  • det A=detA^{t}

    Vamos resolver um exemplo para ajudar na fixação do conteúdo!

    (Exemplo 1 - UFRGS) O determinante da matriz mostrada a seguir:

    \begin{bmatrix}1 & 2 & 3\\ a & 2a & 3a\\ b+1 & b+2 &b+3 \end{bmatrix}

    é nulo:

    A. para quaisquer valores de a e b.

    B. apenas se a=0.

    C. apenas se b=0.

    D. somente se a=b.

    E. somente quando 1+2a+(b+3)=0.

    Resolução: vamos lembrar da propriedade do determinante: “uma matriz que possua fileiras paralelas proporcionais possui um determinante igual a zero”. Vemos que as linhas 1 e 2 são proporcionais, pois se multiplicarmos a linha 1 por a, obtemos a linha 2. Assim, o determinante é nulo independente dos valores de “a” e “b”.

    ALTERNATIVA A.

    Fórmulas



    Exercícios

    Exercício 1
    (FUVEST)

    O determinante da inversa da matriz a seguir é: 

    \begin{bmatrix}1 & 0 & 1\\ -1 &  -2& 0\\ \frac{1}{5} &4  &3 \end{bmatrix}

    Ilustração: Rapaz corpulento de camiseta, short e tênis acenando

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