Determinantes

Determinantes são números que conseguem compactar as informações de uma matriz e são muito usados para a resolução de sistemas lineares e em geometria analítica. É importante saber que eles sempre estão associados a matrizes quadradas!

A representação do determinante é feita com dois riscos paralelos:

\begin{vmatrix}1 & 2\\ 5 & 0\end{vmatrix}

Vamos ver como calcular o determinante conforme a ordem da matriz aumenta.

O determinante de uma matriz de ordem 1 é igual ao próprio elemento da matriz. 

Exemplos:

• \begin{vmatrix}3\end{vmatrix}=3
• \begin{vmatrix}-1\end{vmatrix}=-1

O determinante de uma matriz de ordem 2 ainda é fácil de calcular. A fórmula é a seguinte:

\begin{vmatrix}a & b\\ c & d\end{vmatrix}=ad-bc

Vemos que ele é calculado pelo produto dos elementos da diagonal principal menos o produto dos elementos da diagonal secundária.

    Alguns exemplos:

• \begin{vmatrix}3 & 5\\ 1 & 0\end{vmatrix}=3\cdot 0-5\cdot 1=-5
• \begin{vmatrix}\frac{1}{2} & 11\\ \\ 2 & 4\end{vmatrix}=\frac{1}{2}\cdot 4-11\cdot 2=-20
• \begin{vmatrix}15& 3\\  1 & 6\end{vmatrix}=15\cdot 6-3\cdot 1=87

Para resolver esse tipo de determinante, é utilizada a Regra de Sarrus.

Regra de Sarrus

Vamos usar o determinante abaixo como exemplo para mostrar como a regra funciona!

\begin{vmatrix}4 & 3 & 7\\ 6 & 1 & 0\\ -2 & 5 & 5\end{vmatrix}

1º passo) Repetimos as duas primeiras colunas no lado esquerdo.

\begin{vmatrix}4 & 3 & 7\\ 6 & 1 & 0\\ -2 & 5 & 5\end{vmatrix}\begin{matrix}4 & 3\\ 6 & 1\\ -2 & 5\end{matrix}

2º passo) Multiplicamos os elementos na direção da diagonal principal e somamos os resultados.

3º passo) Multiplicamos os elementos na direção da diagonal secundária e somamos os resultados.

4º passo) O determinante será, então:

det={\color{Red}(4\cdot 1\cdot 5)+(3\cdot 0\cdot (-2))+(7\cdot 6\cdot 5)}{\color{Blue}-(3\cdot 6\cdot 5)-(4\cdot 0\cdot 5)-(7\cdot 1\cdot (-2))}=154

Vamos listar algumas propriedades interessantes que podem nos ajudar na hora da resolução de exercícios.

\begin{bmatrix}1 & 0 & 0\\ 0 & 1 &0 \\ 0 & 0 & 1\end{bmatrix}\rightarrow detI_{n}=1

detA^{-1}=\frac{1}{detA}

det A=detA^{t}

Vamos resolver um exemplo para ajudar na fixação do conteúdo!

(Exemplo 1 - UFRGS) O determinante da matriz mostrada a seguir:

\begin{bmatrix}1 & 2 & 3\\ a & 2a & 3a\\ b+1 & b+2 &b+3 \end{bmatrix}

é nulo:

A. para quaisquer valores de a e b.

B. apenas se a=0.

C. apenas se b=0.

D. somente se a=b.

E. somente quando 1+2a+(b+3)=0.

Resolução: vamos lembrar da propriedade do determinante: “uma matriz que possua fileiras paralelas proporcionais possui um determinante igual a zero”. Vemos que as linhas 1 e 2 são proporcionais, pois se multiplicarmos a linha 1 por a, obtemos a linha 2. Assim, o determinante é nulo independente dos valores de “a” e “b”.

ALTERNATIVA A.