Distância entre ponto e reta: Fórmula, demonstração e exemplos

A partir de conhecimentos da álgebra e da geometria, a geometria analítica busca entender relações entre diversos elementos no plano cartesiano. Um dos problemas é a distância entre um ponto e uma reta. Vamos ver como resolver esse tipo de problema?

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A distância entre um ponto e uma reta é a medida perpendicular da reta ao ponto mais próximo da reta. Essa distância é uma medida importante em geometria e tem várias aplicações em matemática, física e engenharia.

Seja a reta “r” de equação ax+by+c=0 e o ponto P\((x_{0},y_{0})\), o qual não pertence a reta “r”. A fórmula da distância o ponto e a reta é:

\(d=\frac{\left | ax_{0}+by_{0}+c \right |}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}\)

Onde:

• a e b são os coeficientes da equação da reta;
• c é uma constante na equação da reta;
• P\((x_{0},y_{0})\) são as coordenadas do ponto cuja distância queremos calcular;

É importante lembrar que essa é a menor distância entre o ponto e a reta, ou seja, é a distância cujo caminho faz um ângulo de 90º com a reta “r”, como mostra a figura a seguir.

Ilustração da distância do ponto P à reta r.

Antes de iniciar este tópico, vale ressaltar que demonstrações de fórmulas e semelhantes não costumam cair no ENEM! Também é difícil isso ser cobrado em outros vestibulares. A exceção são provas como ITA, IME e afins, onde há chance de aparecer problemas que necessitam de um aprofundamento maior.

Contudo, é importante que o aluno tenha, pelo menos, uma ideia de onde a fórmula vem, com o objetivo de ampliar o “horizonte matemático” e gerar criatividade na hora de solucionar exercícios. E é por isso que vamos mostrar como se chega na fórmula apresentada anteriormente, ok?

Para demonstrar a relação da distância entre ponto e reta, iremos utilizar a figura 1 acima!

A primeira coisa a notar é que os triângulos \(\Delta\) ABO e \(\Delta\) CDP são semelhantes. A semelhança se dá pois os dois possuem ângulos de 90º e os ângulos representados por dois riscos (isso acontece porque as retas \(\overline{OB}\) e \(\overline{CP}\) são paralelas, assim como as retas \(\overline{AB}\) e \(\overline{DP})\).

Perceba agora que tg \ \(\alpha=-\frac{a}{b}\). No \(\Delta\) ABO, temos tg \(\Theta =\frac{b}{a}\) e, consequentemente, \(sen \Theta =\frac{b}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}\). Porém, de acordo com o \(\Delta\) CDP, temos \(sen \Theta=\frac{d}{\left | y_{0}-(-\frac{ax_{0}-c}{b}) \right |}=\frac{bd}{\left | ax_{0}+by_{0}+c \right |}\) .

Vamos igualar os senos:

\(\frac{b}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}=\frac{bd}{\left | ax_{0}+by_{0}+c \right |} \rightarrow d=\frac{\left | ax_{0}+by_{0}+c \right |}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}\)

.

Vamos igualar os senos:

\(\frac{b}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}=\frac{bd}{\left | ax_{0}+by_{0}+c \right |} \rightarrow d=\frac{\left | ax_{0}+by_{0}+c \right |}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}\)

Exemplos

Exemplo 1) Determine a altura relativa ao vértice A do triângulo A(1; 1), B(-1; -3) e C(2; -7).

Solução: repare que a altura relativa ao vértice A é a distância do ponto A até a reta \(\overline{BC}\)! Assim, vamos calcular a equação da reta \(\overline{BC}\) primeiro:

\(m=\frac{-7-(-3)}{2-(-1)}=\frac{-4}{3}\)

\(y+3=\frac{-4}{3}(x+1)\rightarrow 3y+9=-4x-4\rightarrow 4x+3y+13=0\)

Pronto! Temos todas as informações necessárias, basta aplicar a fórmula:

\(d=\frac{\left | ax_{0}+by_{0}+c \right |}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}=\frac{\left | 4\cdot 1+3\cdot 1+13 \right |}{\sqrt{4^{2}+3^{2}}}=\frac{\left | 20 \right |}{5}=4\)

Exemplo 2) Determinar a distância do ponto P(6; 5) à reta que passa pelos pontos A(-3; 1) e B(5; -1). 

Solução: primeiros, vamos determinar a reta \overline{AB} e, então, aplicar a fórmula da distância de ponto à reta.

\(m=\frac{y-y_{0}}{x-x_{0}}=\frac{1-(-1)}{-3-5}=\frac{2}{-8}=-\frac{1}{4}\)

\(y-1=-\frac{1}{4}(x-(-3))\rightarrow 4y-4=-x-3\rightarrow 4y+x-1=0\)

ATENÇÃO! Não confunda o \(x_{0}\) e o \(y_{0}\) aqui em cima com os mesmos da fórmula! O \(x_{0}\) e o \(y_{0}\) da fórmula da distância faz referência as coordenadas do ponto, já o \(x_{0}\) e o \(y_{0}\) da fórmula da reta acima, faz referência as coordenadas dos pontos que passam pela reta! Caso queira saber mais, veja o nosso conteúdo de equação da reta!

Assim, aplicando a fórmula:

\(d=\frac{\left | ax_{0}+by_{0}+c \right |}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}=\frac{\left | 1\cdot 6+4\cdot 5-1 \right |}{\sqrt{1^{2}+4^{2}}}=\frac{\left | 25 \right |}{\sqrt{17}}\cdot \frac{\sqrt{17}}{\sqrt{17}}=\frac{25\sqrt{17}}{17}\)