O que é parábola na matemática? Entenda melhor!

A parábola é definida como uma cônica (assim como a circunferência, a elipse e a hipérbole), a qual é formada a partir da interseção de um plano com a superfície lateral de um cone, de forma paralela a uma geratriz.

Para entender melhor, a imagem abaixo ilustra o que acabou de ser dito:

Parábola como seção cônica.

Uma parábola é uma curva geométrica que pode ser definida de várias maneiras na matemática, mas uma das definições mais comuns é a seguinte:

Uma parábola é o conjunto de todos os pontos que estão equidistantes de um ponto fixo chamado foco e uma reta fixa chamada diretriz. A reta que passa pelo foco e é perpendicular à diretriz é chamada eixo da parábola. A forma exata da parábola depende da posição relativa do foco, da diretriz e do eixo. 

A parábola é uma curva plana, onde o conjunto dos pontos são equidistantes de um ponto dado (o qual denominamos de foco, F)  e de uma reta dada (a qual chamamos de diretriz, d).

Chamamos essa propriedade de lugar geométrico da parábola.

Lugar geométrico da parábola.

Nesse sentido, essa propriedades nos diz que:

\(\overline{P_{1}F}=\overline{P_{1}A} \qquad \overline{P_{2}F}=\overline{P_{2}B} \qquad \overline{P_{3}F}=\overline{P_{3}C} \qquad …\)

Agora que você entendeu a propriedade da parábola, vamos ver como é o formato da sua equação.

Temos duas situações possíveis:

• A expressão \(y=ax^{2}+bx+c\), com \(a\neq 0\) representa uma parábola com a diretriz paralela ao eixo x;
• A expressão \(x=ay^{2}+by+c\), com \(a\neq 0\) representa uma parábola com a diretriz paralela ao eixo y.

Ok, como já conhecemos a equação da parábola, vamos fixar o aprendizado com alguns exemplos.

Exemplo 1

Seja uma parábola com F (2; 3) e reta diretriz y=1. Determine a sua equação.

Solução: ilustrando a situação, temos:

Determinando a equação da parábola pela definição (propriedade):

\(PF=PA\rightarrow \sqrt{(x-2)^{2}+(y-3)^{2}}=y-1\rightarrow (x-2)^{2}+(y-3)^{2}=(y-1)^{2}\rightarrow x^{2}-4x+4+y^{2}-6y+9=y^{2}-2y+1\rightarrow x^{2}-4x+12=4y\rightarrow y=\frac{x^{2}}{4}-x+3\)

Exemplo 2

Seja uma parábola com F (3; 0) e reta diretriz x=1. Determine a sua equação.

Solução: temos uma situação semelhante ao exemplo anterior. A diferença é que a coordenada do foco mudou, e a reta diretriz agora é x=1.

Determinando a equação da parábola pela propriedade:

\(PF=PA\rightarrow \sqrt{(x-3)^{2}+y^{2}}=(x-1)\rightarrow x^{2}-6x+9+y^{2}=x^{2}-2x+1\rightarrow y^{2}+8=4x\rightarrow x=\frac{y^{2}}{4}+2\)

Toda parábola possui um vértice de coordenadas \((x_{V}; y_{V})\) e parâmetro 2p. Não ficou claro? Dê uma olhada na figura abaixo que você entenderá!

O parâmetro de uma parábola é a distância do foco até a diretriz. O vértice da parábola sempre estará localizado no ponto médio do parâmetro, como indica a figura acima.

Note, também, que a coordenada do foco é F \((x_{V}; y_{V}+p)\).

Dessa forma, podemos escrever a equação da parábola através das coordenadas do vértice e através do parâmetro 2p:

• \((x-x_{V})^{2}=4p(y-y_{V})\), quando a diretriz é paralela ao eixo Ox;
• \((y-y_{V})^{2}=4p(x-x_{V})\), quando a diretriz é paralela ao eixo Oy.

Exemplo 3

Determine o foco, o vértice e equação da diretriz da seguinte parábola \(3x^{2}-9x-5y-2=0\).

Solução: manipulando algebricamente a equação dada pelo enunciado:

\(3x^{2}-9x-5y-2=0\rightarrow x^{2}-3x-\frac{5}{3}\cdot y-\frac{2}{3}=0\rightarrow x^{2}-3x+\frac{9}{4}-\frac{9}{4}-\frac{5}{3}\cdot y-\frac{2}{3}=0\rightarrow (x-\frac{3}{2})^{2}=\frac{5}{3}\cdot y+\frac{2}{3}+\frac{9}{4}\rightarrow (x-\frac{3}{2})^{2}=\frac{5}{3}\cdot y+\frac{35}{12}\rightarrow (x-\frac{3}{2})^{2}=\frac{5}{3}(y+\frac{7}{4})\)

Assim, fica fácil perceber que:

• Vértice: \((\frac{3}{2};\frac{-7}{4})\)
• Parâmetro: \(4p=\frac{5}{3}\rightarrow 2p=\frac{5}{6}\)
• Foco: \((\frac{3}{2};\frac{-7}{4}+\frac{5}{12})=(\frac{3}{2};\frac{-4}{3})\)
• Diretriz: \(y+\frac{13}{6}=0\)

Exemplo 4

Determine a equação da reta tangente à parábola \(y=x^{2}\) e que seja paralela à reta y=2x+5.

Solução: como a reta tangente deve ser paralela à reta y=2x+5, então a reta tangente tem formato y=2x+a. Assim, o sistema \(\begin{cases} y=x^{2}  \\ y=2x+a \end{cases}\) possui solução única, pois como a reta é tangente, há somente um ponto onde a reta e a parábola se encontram.

Nesse sentido, igualando as equações do sistema, temos:

\(x^{2}=2x+a\rightarrow x^{2}-2x-a=0\rightarrow \Delta =(-2)^{2}-4\cdot 1\cdot (-a)\)

Como o sistema tem solução única, o delta deve ser igual a zero:

\((-2)^{2}-4\cdot 1\cdot (-a)=0\rightarrow 4+4a=0\rightarrow a=-1\)

Concluímos, então, que a reta tangente a parábola possui a equação y=2x-1.

A parábola está intensamente atrelada ao nosso cotidiano, embora a maioria das pessoas não perceba.

Radares e antenas usam de, forma fundamental, as propriedades da parábola e, além disso, as aplicações no campo da Física, como trajetória de projéteis, fazem uso constante desse conteúdo.

Aplicação da parábola em antena.

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