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Matemática

Parábola

Matheus Lemes
Publicado por Matheus Lemes
Última atualização: 11/5/2019

Introdução

parábola é definida como uma cônica (assim como a circunferência, a elipse e a hipérbole), a qual é formada a partir da interseção de um plano com a superfície lateral de um cone, de forma paralela a uma geratriz.

Para entender melhor, a imagem abaixo ilustra o que acabou de ser dito:

Imagem:

https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/f/f1/Conicas2.PNG

Legenda: Parábola como seção cônica.

Propriedade da parábola

A parábola é uma curva plana, onde o conjunto dos pontos são equidistantes de um ponto dado (o qual denominamos de foco, F)  e de uma reta dada (a qual chamamos de diretriz, d).

Chamamos essa propriedade de lugar geométrico da parábola.


Legenda: Lugar geométrico da parábola.

Nesse sentido, essa propriedades nos diz que:

\(\overline{P_{1}F}=\overline{P_{1}A} \qquad \overline{P_{2}F}=\overline{P_{2}B} \qquad \overline{P_{3}F}=\overline{P_{3}C} \qquad …\)

Equação da parábola

Agora que você entendeu a propriedade da parábola, vamos ver como é o formato da sua equação.

Temos duas situações possíveis:

  • A expressão \(y=ax^{2}+bx+c\), com \(a\neq 0\) representa uma parábola com a diretriz paralela ao eixo x;
  • A expressão \(x=ay^{2}+by+c\), com \(a\neq 0\) representa uma parábola com a diretriz paralela ao eixo y.
  • Ok, como já conhecemos a equação da parábola, vamos fixar o aprendizado com alguns exemplos.

    Exemplo 1

    Seja uma parábola com F (2; 3) e reta diretriz y=1. Determine a sua equação.

    Solução: ilustrando a situação, temos:


    Determinando a equação da parábola pela definição (propriedade):

    \(PF=PA\rightarrow \sqrt{(x-2)^{2}+(y-3)^{2}}=y-1\rightarrow (x-2)^{2}+(y-3)^{2}=(y-1)^{2}\rightarrow x^{2}-4x+4+y^{2}-6y+9=y^{2}-2y+1\rightarrow x^{2}-4x+12=4y\rightarrow y=\frac{x^{2}}{4}-x+3\)

    Exemplo 2

    Seja uma parábola com F (3; 0) e reta diretriz x=1. Determine a sua equação.

    Solução: temos uma situação semelhante ao exemplo anterior. A diferença é que a coordenada do foco mudou, e a reta diretriz agora é x=1.

    Determinando a equação da parábola pela propriedade:

    \(PF=PA\rightarrow \sqrt{(x-3)^{2}+y^{2}}=(x-1)\rightarrow x^{2}-6x+9+y^{2}=x^{2}-2x+1\rightarrow y^{2}+8=4x\rightarrow x=\frac{y^{2}}{4}+2\)

    Determinação do vértice e do parâmetro

    Toda parábola possui um vértice de coordenadas \((x_{V}; y_{V})\) e parâmetro 2p. Não ficou claro? Dê uma olhada na figura abaixo que você entenderá!


    O parâmetro de uma parábola é a distância do foco até a diretriz. O vértice da parábola sempre estará localizado no ponto médio do parâmetro, como indica a figura acima.

    Note, também, que a coordenada do foco é F \((x_{V}; y_{V}+p)\).

    Dessa forma, podemos escrever a equação da parábola através das coordenadas do vértice e através do parâmetro 2p:

  • \((x-x_{V})^{2}=4p(y-y_{V})\), quando a diretriz é paralela ao eixo Ox;
  • \((y-y_{V})^{2}=4p(x-x_{V})\), quando a diretriz é paralela ao eixo Oy.
  • Exemplo 3

    Determine o foco, o vértice e equação da diretriz da seguinte parábola \(3x^{2}-9x-5y-2=0\).

    Solução: manipulando algebricamente a equação dada pelo enunciado:

    \(3x^{2}-9x-5y-2=0\rightarrow x^{2}-3x-\frac{5}{3}\cdot y-\frac{2}{3}=0\rightarrow x^{2}-3x+\frac{9}{4}-\frac{9}{4}-\frac{5}{3}\cdot y-\frac{2}{3}=0\rightarrow (x-\frac{3}{2})^{2}=\frac{5}{3}\cdot y+\frac{2}{3}+\frac{9}{4}\rightarrow (x-\frac{3}{2})^{2}=\frac{5}{3}\cdot y+\frac{35}{12}\rightarrow (x-\frac{3}{2})^{2}=\frac{5}{3}(y+\frac{7}{4})\)

    Assim, fica fácil perceber que:

    • Vértice: \((\frac{3}{2};\frac{-7}{4})\)
    • Parâmetro: \(4p=\frac{5}{3}\rightarrow 2p=\frac{5}{6}\)
    • Foco: \((\frac{3}{2};\frac{-7}{4}+\frac{5}{12})=(\frac{3}{2};\frac{-4}{3})\)
    • Diretriz: \(y+\frac{13}{6}=0\)

    Exemplo 4

    Determine a equação da reta tangente à parábola \(y=x^{2}\) e que seja paralela à reta y=2x+5.

    Solução: como a reta tangente deve ser paralela à reta y=2x+5, então a reta tangente tem formato y=2x+a. Assim, o sistema \(\begin{cases} y=x^{2}  \\ y=2x+a \end{cases}\) possui solução única, pois como a reta é tangente, há somente um ponto onde a reta e a parábola se encontram.

    Nesse sentido, igualando as equações do sistema, temos:

    \(x^{2}=2x+a\rightarrow x^{2}-2x-a=0\rightarrow \Delta =(-2)^{2}-4\cdot 1\cdot (-a)\)

    Como o sistema tem solução única, o delta deve ser igual a zero:

    \((-2)^{2}-4\cdot 1\cdot (-a)=0\rightarrow 4+4a=0\rightarrow a=-1\)

    Concluímos, então, que a reta tangente a parábola possui a equação y=2x-1.

    Aplicações

    A parábola está intensamente atrelada ao nosso cotidiano, embora a maioria das pessoas não perceba.

    Radares e antenas usam de, forma fundamental, as propriedades da parábola e, além disso, as aplicações no campo da Física, como trajetória de projéteis, fazem uso constante desse conteúdo.

    Imagem:

    https://pixabay.com/pt/sat%C3%A9lite-tecnologia-r%C3%A1dio-antena-2528833/

    Legenda: Aplicação da parábola em antena.

    Fórmulas


    Exercícios

    Exercício 1
    (ENEM/2013)

    A parte interior de uma taça foi gerada pela rotação de uma parábola em torno de um eixo z, conforme mostra a figura.

    A função real que expressa a parábola, no plano cartesiano da figura, é dada pela lei \(f(x)=\frac{3}{2}x^{2}-6x+C\), onde C é a medida da altura do líquido contido na taça, em centímetros. Sabe-se que o ponto V, na figura, representa o vértice da parábola, localizado sobre o eixo x. Nessas condições, a altura do líquido contido na taça, em centímetros, é:

    Ilustração: Rapaz corpulento de camiseta, short e tênis acenando

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