Permutação: o que é, tipos (simples, com repetição e circular) e fórmulas

Permutações são agrupamentos formados com n elementos, de forma que a ordem desses elementos é sempre diferente.

Assim, a permutação pode ser definida como o cálculo de arranjos possíveis de um conjunto de elementos, onde a ordem importa. Por exemplo, para 3 letras {A, B, C}, as permutações são ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, e CBA, totalizando 6 arranjos.

As principais permutações são: permutação simples e permutação com repetição. Além dessas, há um caso interessante que é a permutação circular.

Exemplo de Permutação

123, 132, 213, 231, 312 e 321 são permutações dos algarismos {1, 2, 3}.

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Dizemos que uma permutação é simples se o conjunto permutado não contém elementos repetidos.

Por exemplo, o conjunto A = {B, C, D} não contém elementos repetidos e gera as seguintes permutações: BCD, BDC, CBD, CDB, DBC, DCB.

As permutações simples são casos particulares dos arranjos simples. A permutação simples é um arranjo simples em que p = n.

Exemplos de permutação simples

• 5 alunos serão colocados em fila. Para escolher o primeiro da fila temos 5 opções. Agora para escolher o segundo teremos apenas 4 opções, já que um aluno já foi escolhido. E assim por diante.
  Com essa mesma lógica, podemos generalizar e chegamos na fórmula de permutação simples: 
  $$P_{n} = n!$$
• De quantas maneiras distintas podemos dispor em fila indiana sete homens e 3 mulheres em qualquer ordem? 
  
  Note que não faz diferença o fato de ser homem ou mulher neste caso.
  
  O problema estabelece 10 elementos que devem ser distribuídos em fila indiana. Aplicando a fórmula, temos que o número de possibilidades de distribuição é \(3\chi9\)! 
  
  Pode-se pensar também que: a primeira posição pode ser ocupada por 10 pessoas, a segunda pode ser ocupada por 9 pessoas (depois da primeira pessoa ter sido alocada), e assim por diante. 
  
  Logo, pelo Princípio Multiplicativo, multiplicamos o número de possibilidades e obtemos a mesma resposta de antes.
  
  
• E se fosse imposto que necessariamente a fila indiana começasse com uma mulher?
  
  Neste caso, é mais cômodo pensar no Princípio Multiplicativo, pois o raciocínio utilizado anteriormente é idêntico.
  
  Na primeira posição, existem 3 pessoas que obedecem a condição de serem mulheres, nas demais posições, não importa o sexo.
  
  Logo, temos 9 possibilidades para a segunda posição, 8 para a terceira e assim por diante. Logo, o resultado seria \(3\chi9\)!

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Caso existam elementos repetidos, com a fórmula da permutação simples contaríamos vários casos algumas vezes.

Por exemplo, na palavra ARAME, se trocássemos as letras A de lugar, formaríamos a mesma palavra. E pela fórmula de permutação simples, teríamos contado ARAME duas vezes.

A lógica da resolução de uma questão de permutação com repetição é eliminar esses casos contados mais de uma vez.

Exemplos de permutação com repetição

• De quantas formas podemos ordenar 6 bolas sendo que 2 são verdes, 1 é azul e 3 são vermelhas?

   

  Fazendo uma permutação simples, contamos todos os casos em que essas bolas de mesma cor se permutam \(P_{3}\) no caso das bolas vermelhas e \(P_{2}\) no caso das bolas azuis), mas todos esses casos deveriam contar só como um.
  
  E pra consertar isso, dividimos o resultado pela permutação dessas bolas de mesma cor.
  
  No exemplo temos 3 vermelhas e 2 azuis, logo dividimos pela permutação de 3 e de 2.
  $$P_{6}^{3,2} = {6! \over 3! 2!}$$
  
  Pela mesma lógica, podemos chegar na fórmula de permutação com repetição:
  
  Onde os a são a quantidade que cada elemento repetiu.
  
  
• Calcule o número de anagramas da palavra ARARAQUARA.
  
  De início, o número de letras da palavra é 10. Os tipos de letra existentes são: 5 letras A, 3 letras R, 1 letra Q e 1 letra U.
  
  Então, basta que sejam substituídos na fórmula os valores, da seguinte maneira:
  
  
  
  Note que, para facilitar o cálculo com o fatorial, convenientemente se desenvolve o fatorial de cima até que se encontre um dos fatores de baixo, fato que deixa a conta muito menos dispendiosa.

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A permutação circular é um caso de permutação em que os elementos estão dispostos em um ciclo.

Na permutação circular, a ordem em que um elemento está em relação ao outro em um ciclo importa. Mas não há ordem fixa, ou seja, “girar” os elementos não gera uma nova permutação circular.

Exemplo de permutação circular

De quantas maneiras podem se distribuir 5 crianças em uma roda?
Primeiro faremos que nem uma permutação simples.
$$P_{5} = 5.4.3.2.1 = 120$$

Veja que para cada permutação simples, são criados 5 casos que representam a mesma configuração em uma permutação circular.

Que são a rotação desse círculo nas 5 posições.

Assim como o caso de permutação com repetição, para retirar esses casos repetidos, dividimos pela quantidade que eles aparecem.

$$PC_{5} = (5.4.3.2.1)/5 = 4.3.2.1 = 24$$

Generalizando, podemos obter a fórmula de permutação circular:

$$PC_{n} = (n - 1)!$$

Outra forma de chegar na fórmula de permutação circular, é fixar um elemento para ser o “referencial”.

Assim, os elementos ficam em posições relativas à este referencial e o valor da permutação circular é a permutação dos outros elementos (n-1)!.

Suponha que, dessas cinco crianças, três são meninas e dois são meninos, e, ainda, os dois meninos não podem ficar juntos.

Por lógica, o número de casos em que os meninos não estão juntos é: o total de casos menos os casos em que eles estão juntos.

O total de casos é a permutação circular de 5 elementos = 24

É necessário, então, calcular o número de casos nos quais os meninos estão juntos. Para isso, tratamos eles como um só elemento, já que estão sempre juntos, e calculamos a permutação circular. A permutação circular de 4 elementos é:

$$PC_{4} = (4-1)! = 3! = 6$$

Depois, multiplicamos esse valor por 2, pois o segundo menino pode estar à esquerda ou à direita do primeiro. Portanto, a resposta do problema é 4! - 3!.2 = 24 - 12 = 12.

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