Permutações são agrupamentos formados com n elementos, de forma que a ordem desses elementos é sempre diferente.
Assim, a permutação pode ser definida como o cálculo de arranjos possíveis de um conjunto de elementos, onde a ordem importa. Por exemplo, para 3 letras {A, B, C}, as permutações são ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, e CBA, totalizando 6 arranjos.
As principais permutações são: permutação simples e permutação com repetição. Além dessas, há um caso interessante que é a permutação circular.
123, 132, 213, 231, 312 e 321 são permutações dos algarismos {1, 2, 3}.
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Dizemos que uma permutação é simples se o conjunto permutado não contém elementos repetidos.
Por exemplo, o conjunto A = {B, C, D} não contém elementos repetidos e gera as seguintes permutações: BCD, BDC, CBD, CDB, DBC, DCB.
As permutações simples são casos particulares dos arranjos simples. A permutação simples é um arranjo simples em que p = n.
Caso existam elementos repetidos, com a fórmula da permutação simples contaríamos vários casos algumas vezes.
Por exemplo, na palavra ARAME, se trocássemos as letras A de lugar, formaríamos a mesma palavra. E pela fórmula de permutação simples, teríamos contado ARAME duas vezes.
A lógica da resolução de uma questão de permutação com repetição é eliminar esses casos contados mais de uma vez.
A permutação circular é um caso de permutação em que os elementos estão dispostos em um ciclo.
Na permutação circular, a ordem em que um elemento está em relação ao outro em um ciclo importa. Mas não há ordem fixa, ou seja, “girar” os elementos não gera uma nova permutação circular.
De quantas maneiras podem se distribuir 5 crianças em uma roda?
Primeiro faremos que nem uma permutação simples.
$$P_{5} = 5.4.3.2.1 = 120$$
Veja que para cada permutação simples, são criados 5 casos que representam a mesma configuração em uma permutação circular.
Que são a rotação desse círculo nas 5 posições.
Assim como o caso de permutação com repetição, para retirar esses casos repetidos, dividimos pela quantidade que eles aparecem.
$$PC_{5} = (5.4.3.2.1)/5 = 4.3.2.1 = 24$$
Generalizando, podemos obter a fórmula de permutação circular:
$$PC_{n} = (n - 1)!$$
Outra forma de chegar na fórmula de permutação circular, é fixar um elemento para ser o “referencial”.
Assim, os elementos ficam em posições relativas à este referencial e o valor da permutação circular é a permutação dos outros elementos (n-1)!.
Suponha que, dessas cinco crianças, três são meninas e dois são meninos, e, ainda, os dois meninos não podem ficar juntos.
Por lógica, o número de casos em que os meninos não estão juntos é: o total de casos menos os casos em que eles estão juntos.
O total de casos é a permutação circular de 5 elementos = 24
É necessário, então, calcular o número de casos nos quais os meninos estão juntos. Para isso, tratamos eles como um só elemento, já que estão sempre juntos, e calculamos a permutação circular. A permutação circular de 4 elementos é:
$$PC_{4} = (4-1)! = 3! = 6$$
Depois, multiplicamos esse valor por 2, pois o segundo menino pode estar à esquerda ou à direita do primeiro. Portanto, a resposta do problema é 4! - 3!.2 = 24 - 12 = 12.
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O setor de recursos humanos de uma empresa vai realizar uma entrevista com 120 candidatos a uma vaga de contador. Por sorteio, eles pretendem atribuir a cada candidato um número, colocar a lista de números em ordem numérica crescente e usá-la para convocar os interessados. Acontece que, por um defeito do computador, foram gerados números com 5 algarismos distintos e, em nenhum deles, apareceram dígitos pares.
Em razão disso, a ordem de chamada do candidato que tiver recebido o número 75913 é: