Arranjo (Matemática): o que é, fórmula, simples e com repetição

Arranjos são como permutações, trocas de posição entre os elementos. Mas no caso dos arranjos, são escolhidos p elementos para ocupar as posições ordenadas. Os arranjos são um caso particular de permutações, já que p ≤ n.

Por exemplo: os números de três algarismos formados pelos elementos (1, 2, 3 e 4) são: 123, 132, 421, 423, 342, e assim por diante. Cada um desses números é um arranjo diferente dos elementos (1, 2, 3 e 4).

Assim, os arranjos são os agrupamentos nos quais a ordem de seus elementos faz diferença. Ou seja, mesmo que os elementos de dois arranjos sejam os mesmos, esses arranjos podem ser diferentes.

Os arranjos podem ser de dois tipos: simples ou com repetição. Além desses, também há um caso em que podem ser impostas restrições aos arranjos, o arranjo condicional.

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O conceito de arranjo na matemática faz parte do estudo da combinatoria, uma área que trata das diferentes formas de agrupar ou ordenar objetos. Um arranjo é uma seleção de objetos em que a ordem dos elementos importa, e cada objeto pode ser selecionado apenas uma vez.

Os arranjos são utilizados em diversas situações matemáticas e práticas onde a ordem dos elementos selecionados importa e cada elemento é único dentro de cada arranjo específico. Aqui estão alguns contextos e exemplos em que os arranjos são frequentemente aplicados:

1. Problemas de Permutação: Quando se quer saber de quantas maneiras diferentes um conjunto de objetos pode ser ordenado. Por exemplo, determinar a quantidade de maneiras de distribuir medalhas de ouro, prata e bronze para um grupo de atletas.

2. Organização e Planejamento: Na alocação de pessoas para tarefas específicas onde a ordem de atribuição é importante. Por exemplo, determinar quantas formas diferentes podem ser formadas comissões ou conselhos executivos a partir de um grupo maior de pessoas.

3. Códigos e Senhas: Para calcular o número de combinações possíveis de dígitos ou caracteres em códigos e senhas, considerando uma sequência específica de caracteres ou números.

4. Torneios e Competições: No planejamento de jogos ou rodadas em torneios, onde a ordem de enfrentamento entre os competidores ou times é relevante.

5. Arranjos de Itens em Espaços Limitados: Como dispor livros em uma prateleira, obras de arte em uma exposição, ou qualquer situação onde a disposição ordenada de objetos em espaços limitados é considerada.

6. Matemática e Teoria dos Grafos: Em problemas que envolvem caminhos e circuitos, como encontrar o número de rotas possíveis de um ponto a outro em uma rede.

7. Programação e Algoritmos: Para gerar todas as permutações possíveis de um conjunto de dados, que é útil em otimização, testes de software, e resolução de problemas computacionais complexos.

1) Um cadeado possui 3 rodelas numeradas de 0 a 9. Quantas combinações com 3 algarismos diferentes existem?

De 0 a 9, temos 10 possibilidades de algarismos para cada rodela. Mas não podemos repetir esses algarismos, logo é um arranjo simples.

Para a primeira rodela, temos 10 possíveis escolha. Para a segunda rodela, não podemos repetir o elemento usado na primeira, então temos 9 possíveis escolhas para a segunda. E para a terceira rodela, não podemos repetir o elemento da primeira nem da segunda, então temos 8 possíveis escolhas para a terceira.

Pelo princípio multiplicativo da combinatória:

É com essa lógica que chegamos na fórmula de arranjo simples:

2) Numa competição de programação, participam 10 programadores. A premiação é feita aos dois primeiros colocados. De quantas maneiras a premiação pode ocorrer?

Basta que usemos um arranjo simples de 10 pessoas tomadas 2 a 2, que representa o número de possibilidades de escolher duas pessoas distintas dentre as 10 para premiar, onde a ordem delas importa (um é o campeão e o outro o vice).

Substituindo os valores na fórmula acima, temos que o total de possibilidades é de 90.

3) Seja W = {A, B, C}. Quantas são as possibilidades de arranjos de 2 elementos?

Neste caso, podemos notar que n=3 e p=2, portanto, basta substituir na fórmula.

Realizando as contas, temos que o número de arranjos é 3. São eles: AB, AC, BC.

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Assim como na permutação com repetição, cada posição pode ser preenchida com qualquer um dos n elementos. Logo, pelo princípio multiplicativo, encontramos a fórmula:

Exemplo

1) Numa loja, os códigos de produtos são formados por quatro letras das 20 primeiras letras do alfabeto. Quantos formações de códigos de produtos são possíveis?

Note que, nesses códigos, não importa se as letras se repetem. Portanto, para cada letra integrante temos 20 possibilidades. 

Pelo Princípio Fundamental da Contagem, basta que se multipliquem as possibilidades, totalizando \(20^{4}\) códigos.

20\(\cdot\) 20 \(\cdot\) 20 \(\cdot\) 20 = \(20^{4}\)

Usando a fórmula, com n=20 e p=4, encontramos o mesmo resultado de antes.

2) Seja W = {A, B, C}. Quantas são as possibilidades de arranjos de 2 elementos com repetição?

Neste caso, podemos notar que, da mesma maneira n=3 e p=2, portanto, basta substituir na fórmula de arranjo com repetição.

Realizando as contas, temos que o número de arranjos é 9. São eles: AA, AB, AC, BA, BB, BC, CA, CB, CC.

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Considere o seguinte problema:

Quantos arranjos com quatro elementos do conjunto {L, M, N, O, P, Q} começam com duas letras escolhidas no subconjunto {O, P, Q}?

Neste caso, as duas primeiras letras tem uma condição especial, por isso, vamos separar a questão em duas partes: selecionar as duas primeiras letras e selecionar as duas últimas.

A escolha das duas primeiras letras é um arranjo das letras {O, P, Q} com 2 elementos. Logo, é um arranjo de 3 elementos 2 a 2.

Enquanto escolha das duas últimas letras é um arranjo das letras {L, M, N, O, P, Q} tirando as duas que já foram escolhidas. Logo, é um arranjo de 4 elementos 2 a 2.

Pelo princípio multiplicativo, a resposta é a multiplicação dos dois arranjos.

\(A_{3,2}\) \(\cdot\) \(A_{4,2}\) = 6 \(\cdot\) 12 = 72

Podemos pensar o arranjo como uma generalização do princípio multiplicativo. Para entender o surgimento da fórmula do arranjo simples, pense que temos um conjunto com n elementos do qual queremos escolher p elementos distintos (n ≥ p). Utilizando o princípio multiplicativo temos um total de escolhas dado por:

n . (n-1) . (n-2) . … . (n-p+1)

Pensando em usar a notação de fatorial para nos auxiliar, podemos “fazer surgir o restante do fatorial de n” inserindo (n-p) . (n-p-1) … 3 . 2 . 1 neste produto. Para manter a igualdade, fazemos isso multiplicando e dividindo:

An,p=n . (n-1) . (n-2) . ... (n-p+1) . (n-p) . (n-p-1). ... . 3 . 2 . 1(n-p) . (n-p-1). ... . 3 . 2 . 1=n!(n-p)!

Note que se n = p, temos uma permutação simples, ou seja, An,n = Pn = n!. No caso de arranjos com repetição, basta pensar que os termos podem ser repetir, ou seja:

AR n,p=n.n.n. ... .n=np

Desta forma, podemos sempre pensar em resolver os problemas de arranjo usando o princípio multiplicativo ou as fórmulas anteriores.

Tanto arranjos simples como combinações simples surgem em análise combinatória em problemas em que se deseja escolher p elementos distintos em um conjunto com n elementos (n ≥ p). A diferença é que nos arranjos a ordem das escolhas importa, enquanto nas combinações ela não importa. Matematicamente, é como se num arranjo estivéssemos formando uma sequência, enquanto nas combinações formamos um conjunto, ou seja, temos que {a, b, c} (a, b, c).

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