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Matemática

Arranjo

marcelo concli
Publicado por marcelo concli
Última atualização: 18/10/2018

Introdução

Arranjos são agrupamentos formados com p elementos de um conjunto de n elementos.

Arranjos são como permutações, trocas de posição entre os elementos. Mas no caso dos arranjos, são escolhidos p elementos para ocupar as posições ordenadas. Os arranjos são um caso particular de permutações, já que p ≤ n.

Por exemplo: os números de três algarismos formados pelos elementos (1, 2, 3 e 4) são: 123, 132, 421, 423, 342, e assim por diante. Cada um desses números é um arranjo diferente dos elementos (1, 2, 3 e 4).

Assim, os arranjos são os agrupamentos nos quais a ordem de seus elementos faz diferença. Ou seja, mesmo que os elementos de dois arranjos sejam os mesmos, esses arranjos podem ser diferentes.

Os arranjos podem ser de dois tipos: simples ou com repetição. Além desses, também há um caso em que podem ser impostas restrições aos arranjos, o arranjo condicional.

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Arranjo Simples

Dizemos que um arranjo é simples quando não ocorre a repetição de qualquer elemento do conjunto inicial. Cada elemento pode ser usado apenas uma vez

Também é chamado de arranjo simples de n elementos tomados p a p.

Exemplos

1) Um cadeado possui 3 rodelas numeradas de 0 a 9. Quantas combinações com 3 algarismos diferentes existem?

De 0 a 9, temos 10 possibilidades de algarismos para cada rodela. Mas não podemos repetir esses algarismos, logo é um arranjo simples.

Para a primeira rodela, temos 10 possíveis escolha. Para a segunda rodela, não podemos repetir o elemento usado na primeira, então temos 9 possíveis escolhas para a segunda. E para a terceira rodela, não podemos repetir o elemento da primeira nem da segunda, então temos 8 possíveis escolhas para a terceira.

Pelo princípio multiplicativo da combinatória:

É com essa lógica que chegamos na fórmula de arranjo simples:

2) Numa competição de programação, participam 10 programadores. A premiação é feita aos dois primeiros colocados. De quantas maneiras a premiação pode ocorrer?

Basta que usemos um arranjo simples de 10 pessoas tomadas 2 a 2, que representa o número de possibilidades de escolher duas pessoas distintas dentre as 10 para premiar, onde a ordem delas importa (um é o campeão e o outro o vice).

Substituindo os valores na fórmula acima, temos que o total de possibilidades é de 90.

3) Seja W = {A, B, C}. Quantas são as possibilidades de arranjos de 2 elementos?

Neste caso, podemos notar que n=3 e p=2, portanto, basta substituir na fórmula.

Realizando as contas, temos que o número de arranjos é 3. São eles: AB, AC, BC.

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Arranjo com repetição

Neste tipo de arranjo, aceitam-se elementos repetidos. É possível repetir os elementos múltiplas vezes.

Assim como na permutação com repetição, cada posição pode ser preenchida com qualquer um dos n elementos. Logo, pelo princípio multiplicativo, encontramos a fórmula:

Exemplo

1) Numa loja, os códigos de produtos são formados por quatro letras das 20 primeiras letras do alfabeto. Quantos formações de códigos de produtos são possíveis?

Note que, nesses códigos, não importa se as letras se repetem. Portanto, para cada letra integrante temos 20 possibilidades. 

Pelo Princípio Fundamental da Contagem, basta que se multipliquem as possibilidades, totalizando \(20^{4}\) códigos.

20\(\cdot\) 20 \(\cdot\) 20 \(\cdot\) 20 = \(20^{4}\)

Usando a fórmula, com n=20 e p=4, encontramos o mesmo resultado de antes.

2) Seja W = {A, B, C}. Quantas são as possibilidades de arranjos de 2 elementos com repetição?

Neste caso, podemos notar que, da mesma maneira n=3 e p=2, portanto, basta substituir na fórmula de arranjo com repetição.

Realizando as contas, temos que o número de arranjos é 9. São eles: AA, AB, AC, BA, BB, BC, CA, CB, CC.

Arranjo condicional

Considere o seguinte problema:

Quantos arranjos com quatro elementos do conjunto {L, M, N, O, P, Q} começam com duas letras escolhidas no subconjunto {O, P, Q}?

Neste caso, as duas primeiras letras tem uma condição especial, por isso, vamos separar a questão em duas partes: selecionar as duas primeiras letras e selecionar as duas últimas.

A escolha das duas primeiras letras é um arranjo das letras {O, P, Q} com 2 elementos. Logo, é um arranjo de 3 elementos 2 a 2.

Enquanto escolha das duas últimas letras é um arranjo das letras {L, M, N, O, P, Q} tirando as duas que já foram escolhidas. Logo, é um arranjo de 4 elementos 2 a 2.

Pelo princípio multiplicativo, a resposta é a multiplicação dos dois arranjos.

\(A_{3,2}\) \(\cdot\) \(A_{4,2}\) = 6 \(\cdot\) 12 = 72

Fórmulas


Exercícios

Exercício 1
(FUVEST/2010)

Maria deve criar uma senha de 4 dígitos para sua conta bancária. Nessa senha, somente os algarismos 1,2,3,4,5 podem ser usados e um mesmo algarismo pode aparecer mais de uma vez. Contudo, supersticiosa, Maria não quer que sua senha contenha o número 13, isto é, o algarismo 1 seguido imediatamente pelo algarismo 3 . De quantas maneiras distintas Maria pode escolher sua senha?

Ilustração: Rapaz corpulento de camiseta, short e tênis acenando

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