Entenda detalhadamente os tipos, simples, repetição e condicional.
Arranjo simples
O arranjo simples é uma categoria de agrupamento na análise combinatória. É um conjunto ordenado e único formado por alguns elementos de um grupo maior, sem repetições.
Também é chamado de arranjo simples de n elementos tomados p a p.
Exemplos de Arranjo simples
Um cadeado possui 3 rodelas numeradas de 0 a 9. Quantas combinações com 3 algarismos diferentes existem?
De 0 a 9, temos 10 possibilidades de algarismos para cada rodela. Mas não podemos repetir esses algarismos, logo é um arranjo simples.
Para a primeira rodela, temos 10 possíveis escolhas. Para a segunda rodela, não podemos repetir o elemento usado na primeira, então temos 9 possíveis escolhas para a segunda. E para a terceira rodela, não podemos repetir o elemento da primeira nem da segunda, então temos 8 possíveis escolhas para a terceira.
Pelo princípio multiplicativo da combinatória:
É com essa lógica que chegamos na fórmula de arranjo simples:
Já em uma competição de programação, participam 10 programadores. A premiação é feita aos dois primeiros colocados. De quantas maneiras a premiação pode ocorrer?
Basta que usemos um arranjo simples de 10 pessoas tomadas 2 a 2, que representa o número de possibilidades de escolher duas pessoas distintas dentre as 10 para premiar, onde a ordem delas importa (um é o campeão e o outro o vice).
Substituindo os valores na fórmula acima, temos que o total de possibilidades é de 90.
Seja W = {A, B, C}. Quantas são as possibilidades de arranjos de 2 elementos?
Neste caso, podemos notar que n=3 e p=2, portanto, basta substituir na fórmula.
Realizando as contas, temos que o número de arranjos é 3. São eles: AB, AC, BC.
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Arranjo com repetição
O arranjo com repetição é uma forma de agrupamento na análise combinatória. Designamos por arranjo completo ou com repetição todas as sequências formadas por uma certa quantidade de elementos de um conjunto, permitindo repetições nessa sequência.
Assim como na permutação com repetição, cada posição pode ser preenchida com qualquer um dos n elementos. Logo, pelo princípio multiplicativo, encontramos a fórmula do arranjo com repetição:
Exemplo de arranjo com repetição
Em uma loja, os códigos de produtos são formados por quatro letras das 20 primeiras letras do alfabeto. Quantas formações de códigos de produtos são possíveis?
Note que, nesses códigos, não importa se as letras se repetem. Portanto, para cada letra integrante temos 20 possibilidades.
Pelo Princípio Fundamental da Contagem, basta que se multipliquem as possibilidades, totalizando 204 códigos.
Usando a fórmula, com n=20 e p=4, encontramos o mesmo resultado de antes.
2) Seja W = {A, B, C}. Quantas são as possibilidades de arranjos de 2 elementos com repetição?
Neste caso, podemos notar que, da mesma maneira n=3 e p=2, portanto, basta substituir na fórmula de arranjo com repetição.
Realizando as contas, temos que o número de arranjos é 9. São eles: AA, AB, AC, BA, BB, BC, CA, CB, CC.
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Fórmulas Arranjo simples e com repetição
Arranjo condicional
Considere o seguinte problema:
Quantos arranjos com quatro elementos do conjunto {L, M, N, O, P, Q} começam com duas letras escolhidas no subconjunto {O, P, Q}?
Neste caso, as duas primeiras letras tem uma condição especial, por isso, vamos separar a questão em duas partes: selecionar as duas primeiras letras e selecionar as duas últimas.
A escolha das duas primeiras letras é um arranjo das letras {O, P, Q} com 2 elementos. Logo, é um arranjo de 3 elementos 2 a 2.
Enquanto escolha das duas últimas letras é um arranjo das letras {L, M, N, O, P, Q}, tirando as duas que já foram escolhidas. Logo, é um arranjo de 4 elementos 2 a 2.
Pelo princípio multiplicativo, a resposta é a multiplicação dos dois arranjos.
A3,2⋅ A4,2 = 6 ⋅ 12 = 72
Como surgem as fórmulas do arranjo?
Podemos pensar o arranjo como uma generalização do princípio multiplicativo. Para entender o surgimento da fórmula do arranjo simples, pense que temos um conjunto com n elementos do qual queremos escolher p elementos distintos (n ≥ p). Utilizando o princípio multiplicativo temos um total de escolhas dado por:
n . (n-1) . (n-2) . … . (n-p+1)
Pensando em usar a notação de fatorial para nos auxiliar, podemos “fazer surgir o restante do fatorial de n” inserindo (n-p) . (n-p-1) … 3 . 2 . 1 neste produto. Para manter a igualdade, fazemos isso multiplicando e dividindo:
An,p=n . (n-1) . (n-2) . ... (n-p+1) . (n-p) . (n-p-1). ... . 3 . 2 . 1(n-p) . (n-p-1). ... . 3 . 2 . 1=n!(n-p)!
Note que se n = p, temos uma permutação simples, ou seja, An,n = Pn = n!. No caso de arranjos com repetição, basta pensar que os termos podem ser repetir, ou seja:
AR n,p=n.n.n. ... .n=np
Desta forma, podemos sempre pensar em resolver os problemas de arranjo usando o princípio multiplicativo ou as fórmulas anteriores.
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Qual a diferença entre arranjos simples e combinações simples?
Tanto arranjos simples como combinações simples surgem em análise combinatória em problemas em que se deseja escolher p elementos distintos em um conjunto com n elementos (n ≥ p).
A diferença é que nos arranjos a ordem das escolhas importa, enquanto nas combinações ela não importa. Matematicamente, é como se num arranjo estivéssemos formando uma sequência, enquanto nas combinações formamos um conjunto, ou seja, temos que {a, b, c} (a, b, c).
Como saber se um problema envolve arranjos?
Se a ordem dos elementos for importante e os elementos não puderem se repetir, o problema envolve arranjos simples. Se a ordem for importante e os elementos puderem se repetir, trata-se de um arranjo com repetição.
Qual a relação entre arranjo e permutação?
A permutação é um caso especial de arranjo onde n = p, ou seja, utilizamos todos os elementos disponíveis:
P(n)=n!P(n) = n!P(n)=n!
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Revisado por: Ferdinando Caíque Genghini Dantas Lobo
Formado em Matemática pela Universidade Estadual de Campinas (Unicamp), com mestrado na área pela Profmat - Unicamp. Atua como professor de Matemática desde 2012, nos colégios Asther (Campinas-SP) e Villa Lobos (Amparo-SP).
