A relação fundamental da trigonometria, também chamada de RFT, relaciona duas funções trigonométricas bastante conhecidas, a função seno e a função cosseno. Essa relação é útil em diversos problemas de álgebra que envolva qualquer uma das funções trigonométricas, seja ela a seno, cosseno ou tangente.
A relação é simples, dada por:
\(sen^{2}(x)+cos^{2}(x)=1\)
Sendo x o ângulo em questão. Perceba que esse ângulo x deve ser o mesmo tanto na parcela do seno quanto na parcela do cosseno.
A demonstração da Relação Fundamental da Trigonometria é fácil, utilizando apenas o ciclo trigonométrico e o Teorema de Pitágoras.
Figura 1 - Demonstração da Relação Fundamental da Trigonometria.
Perceba que o triângulo OAC é um triângulo retângulo, sendo os catetos as funções trigonométricas, ou seja, o segmento de reta \(\overline{AC}\) é a função sen (x) e a reta \(\overline{AD}\) é a função cos (x), e a hipotenusa vale 1, que é o raio do ciclo trigonométrico. Assim, pelo Teorema de Pitágoras, temos:
\((sex(x))^{2}+(cos(x))^{2}=1^{2}\Rightarrow sen^{2}(x)+cos^{2}(x)=1\)
Vale lembrar que o ângulo x pertence ao conjunto dos reais (\(\mathbb{R}\). Além disso, outro destaque importante é que devemos tomar cuidado com as expressões do seno e cosseno ao quadrado. Lembre que:
Exemplo 1) Determine o sen x, sendo que o \(cos x=\frac{2}{5}\) e \(x \in [\frac{\pi}{2};\pi]\).
Solução: aplicando na Relação Fundamental da Trigonometria:
\(sen^{2}(x)+cos^{2}(x)=1\Rightarrow sen^{2}(x)+(\frac{2}{5})^{2}=1\Rightarrow sen^{2}(x)=1-\frac{4}{25}\Rightarrow sen^{2}(x)=\frac{21}{25}\Rightarrow sen(x)=\pm \sqrt{\frac{21}{25}}\Rightarrow sen(x)=\pm \frac{\sqrt{21}}{5}\)
Como foi informado no enunciado que x pertence ao segundo quadrante, o seno deve ser positivo. Assim, a resposta correta é:
\(sen(x)=\frac{\sqrt{21}}{5}\)
Exemplo 2) (FGV) Se \(sena=\frac{24}{25}\) e \(a\in \) 2º quadrante, determine o valor de \(\sqrt{\frac{1-cosa}{1+cosa}}\).
Solução: repare que poderíamos utilizar a Relação Fundamental da Trigonometria, porém, o cálculo seria extenso e demorado. Para facilitar, é mais fácil pensar que, como o \(sena=\frac{24}{25}\), o valor do cateto oposto é 24 e da hipotenusa é 25. Assim, determinando o cateto adjacente:
\(CA^{2}+24^{2}=25^{2}\Rightarrow \Rightarrow CA=\sqrt{25^{2}-24^{2}}\Rightarrow CA=\pm 7\)
Como CA é um lado do triângulo, seu valor deve ser positivo, dessa forma, CA=7. Nesse sentido, temos:
\(cosa=\frac{CA}{H}\Rightarrow cosa=\frac{7}{25}\)
Substituindo na expressão dada pelo enunciado:
\(\sqrt{\frac{1-(\frac{7}{25})}{1+(\frac{7}{25})}}\Rightarrow \sqrt{\frac{18}{32}}\Rightarrow \frac{3}{4}\)
Alternativa A.
Para qualquer valor real de x, \((senx+cosx)^{2}+(senx-cosx)^{2}\) é igual a: