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Matemática

Relação fundamental da trigonometria

Matheus Lemes
Publicado por Matheus Lemes
Última atualização: 13/1/2020

Introdução

A relação fundamental da trigonometria, também chamada de RFT, relaciona duas funções trigonométricas bastante conhecidas, a função seno e a função cosseno. Essa relação é útil em diversos problemas de álgebra que envolva qualquer uma das funções trigonométricas, seja ela a seno, cosseno ou tangente.

A relação

A relação é simples, dada por:

\(sen^{2}(x)+cos^{2}(x)=1\)

Sendo x o ângulo em questão. Perceba que esse ângulo x deve ser o mesmo tanto na parcela do seno quanto na parcela do cosseno.

Demonstração

A demonstração da Relação Fundamental da Trigonometria é fácil, utilizando apenas o ciclo trigonométrico e o Teorema de Pitágoras.

Figura 1 - Demonstração da Relação Fundamental da Trigonometria.

Perceba que o triângulo OAC é um triângulo retângulo, sendo os catetos as funções trigonométricas, ou seja, o segmento de reta \(\overline{AC}\) é a função sen (x) e a reta \(\overline{AD}\) é a função cos (x), e a hipotenusa vale 1, que é o raio do ciclo trigonométrico. Assim, pelo Teorema de Pitágoras, temos:

\((sex(x))^{2}+(cos(x))^{2}=1^{2}\Rightarrow sen^{2}(x)+cos^{2}(x)=1\)

Vale lembrar que o ângulo x pertence ao conjunto dos reais (\(\mathbb{R}\). Além disso, outro destaque importante é que devemos tomar cuidado com as expressões do seno e cosseno ao quadrado. Lembre que:

  • \(sen^{2}(x)\neq senx^{2}\), já que a segunda expressão indica que o termo ao quadrado é o x, e não o seno;
  • \(cos^{2}(x)\neq cosx^{2}\), a mesma coisa vale para o cosseno.

Exemplos

Exemplo 1) Determine o sen x, sendo que o \(cos x=\frac{2}{5}\) e \(x \in [\frac{\pi}{2};\pi]\).

Solução: aplicando na Relação Fundamental da Trigonometria:

\(sen^{2}(x)+cos^{2}(x)=1\Rightarrow sen^{2}(x)+(\frac{2}{5})^{2}=1\Rightarrow sen^{2}(x)=1-\frac{4}{25}\Rightarrow sen^{2}(x)=\frac{21}{25}\Rightarrow sen(x)=\pm \sqrt{\frac{21}{25}}\Rightarrow sen(x)=\pm \frac{\sqrt{21}}{5}\)

Como foi informado no enunciado que pertence ao segundo quadrante, o seno deve ser positivo. Assim, a resposta correta é:

\(sen(x)=\frac{\sqrt{21}}{5}\)

Exemplo 2) (FGV) Se \(sena=\frac{24}{25}\) e \(a\in \) 2º quadrante, determine o valor de \(\sqrt{\frac{1-cosa}{1+cosa}}\).

  • \(\frac{3}{4}\)
  • \(\frac{3}{5}\)
  • \(\frac{5}{4}\)
  • \(\frac{4}{3}\)
  • \(\frac{1}{2}\)
  • Solução: repare que poderíamos utilizar a Relação Fundamental da Trigonometria, porém, o cálculo seria extenso e demorado. Para facilitar, é mais fácil pensar que, como o \(sena=\frac{24}{25}\), o valor do cateto oposto é 24 e da hipotenusa é 25. Assim, determinando o cateto adjacente:

    \(CA^{2}+24^{2}=25^{2}\Rightarrow \Rightarrow CA=\sqrt{25^{2}-24^{2}}\Rightarrow CA=\pm 7\)

    Como CA é um lado do triângulo, seu valor deve ser positivo, dessa forma, CA=7. Nesse sentido, temos:

    \(cosa=\frac{CA}{H}\Rightarrow cosa=\frac{7}{25}\)

    Substituindo na expressão dada pelo enunciado:

    \(\sqrt{\frac{1-(\frac{7}{25})}{1+(\frac{7}{25})}}\Rightarrow \sqrt{\frac{18}{32}}\Rightarrow \frac{3}{4}\)

    Alternativa A.

    Fórmulas


    Exercícios

    Exercício 1
    (MACKENZIE)

    Para qualquer valor real de x, \((senx+cosx)^{2}+(senx-cosx)^{2}\) é igual a:

    Ilustração: Rapaz corpulento de camiseta, short e tênis acenando

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