Aceleração angular

Vamos analisar o movimento de um carro sobre os trilhos de uma montanha-russa. Este equipamento, usualmente encontrado em parques de diversões, consiste em uma trajetória com aclives e declives sucessivos, podendo possuir os famosos loops de até 360°.

Nas trajetórias circulares desse equipamento, é esperado que exista um ganho ou uma perda de velocidade, logo, durante as trajetórias circulares, todo o movimento é um movimento acelerado.

Podemos avaliar, nessa trajetória, o ângulo que o carro se desloca nos trajetos circulares. A taxa de variação desse ângulo (\( \theta \))  por unidade de tempo é chamada de velocidade angular (\( \omega\)). Como essa velocidade angular não é constante, define-se que a taxa de variação da velocidade angular por unidade de tempo é a aceleração angular (\( \alpha \)).

$$ \alpha = \frac{\omega}{\Delta t}$$

Uma forma de medir ângulos é utilizando o conceito de radianos. O radiano é um número puro que possui uma equivalência geométrica para representar um arco, cujo comprimento é idêntico ao seu raio, como é exemplificado na figura abaixo:

Utilizando esse conceito, definimos, de forma geral, para uma trajetória circular:

Seja essa trajetória percorrida em um instante de tempo \( \Delta t \), a velocidade angular \( \omega \) é dada por \( \omega  = \frac{\theta}{\Delta t}\). Se dividirmos \( \theta = \frac{S}{r} \) em ambos os lados da igualdade pelo instante de tempo correspondente \( \Delta t\), temos que  \( \frac{\theta}{\Delta t} = \frac{S}{r \Delta t} \Rightarrow  \frac{ \theta r}{\Delta t} = \frac {S}{\Delta t} \Rightarrow \omega r = v \), considerando que \(v\) representa a velocidade linear, enquanto \( \omega\) representa a velocidade angular.

Dividindo agora essa nova expressão pelo mesmo instante de tempo, chegamos na seguinte identidade:

$$ \alpha r = a $$

\( \alpha\) é a aceleração angular, isto é, a taxa de variação da velocidade angular por unidade de tempo, e sua unidade é dada em \( \frac{rad}{s^2}\). O termo \(a\) representa a aceleração linear que já foi discutida em tópicos anteriores sobre cinemática. 

Uma vez que podemos relacionar a aceleração angular com sua respectiva aceleração linear por meio da expressão anterior, todas as considerações que já foram feitas para a cinemática do movimento linear podem ser aplicadas para a aceleração angular.

Para o movimento uniformemente variado, temos:

\( S = S_{0} + v_{0}t + a \frac{t^2}{2} \).

Para o movimento circular, podemos escrever, de forma análoga:

\( \theta = \theta _{0} + \omega _{0}t + \alpha \frac{t^2}{2}\).

Avaliando a variação da velocidade linear, temos que \( v = v_{0} + at\). No movimento circular, \( \omega = \omega _{0} + \alpha t \) 

A equação de Torricelli também pode ser incorporada:

\( v^{2} = v_{o}^2 + 2a \Delta S \).

Em termos da aceleração angular, podemos escrever:

$$ \omega ^2 =  \omega _{0}^2 + 2 \alpha \Delta \theta $$.

Exemplo:

Para exemplificar o uso das equações vamos analisar um loop de uma montanha russa.

Suponha que, ao entrar no início de um loop, o carro se encontra com uma aceleração angular \( \alpha = 2 \, rad/s^2 \), que se mantém constante durante todo o percurso do loop, e que sua velocidade angular inicial é \( \omega  = 0,3 \, rad/s \). Assumindo que \( \sqrt {25,22} \approx 5 \), qual será a velocidade angular de saída e o tempo necessário para completar o loop?

Para responder essas perguntas, devemos utilizar as fórmulas análogas ao movimento retilíneo uniformemente variado (MRUV), nas quais \( a = constante \), logo, podemos avaliar o tempo para completar uma volta de \( 2 \pi \, rad \) com a fórmula  \( \theta = \theta _{0} + \omega _{0}t + \alpha \frac{t^2}{2} \Rightarrow   2 \pi = 0,3t + 2 \frac{t^2}{2} \).

\( t^2 + 0,3t - 2 \pi = 0 \Rightarrow    t = \frac{ -0,3 + \sqrt{0,3^2 + 4 \times 2 \pi}}{2} \Rightarrow t = \frac{-0,3 + \sqrt{25,22}}{2} = 2, 35 \, s \). 

A velocidade angular de saída é dada por \( \omega = 0,3 + 2.2,35 \Rightarrow \omega = 5 rad/s \).