Equação do 3º grau: saiba como resolver

$Equações\; cúbicas\; são\; um\; tipo\; de\; problema\; matemático\; onde\; buscamos\; valores\; específicos\; que\; fazem\; a\; equação\; ser\; verdadeira.\; Estas\; equações\; são\; um\; pouco\; mais\; complexas\; do\; que\; as\; mais\; simples\; que\; a\; de\; 1º\; e\; 2º\; grau,\; pois\; envolvem\; um\; termo\; elevado\; ao\; cubo,\; ou\; seja,\; multiplicado\; por\; si\; mesmo\; três\; vezes.$

$Apesar\; de\; parecerem\; apenas\; um\; exercício\; de\; matemática,\; essas\; equações\; têm\; muitos\; usos\; práticos,\; ajudando\; a\; resolver\; problemas\; reais\; em\; várias\; áreas,\; como\; na\; ciência\; e\; na\; engenharia.$

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Uma equação do 3º grau é toda equação do tipo $$ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0$$ onde \(a,b,c\) e \(d\) são números reais chamados de coeficientes da equação. 

Por exemplo, na equação $$3x^{3}+4x^{2}-5x+6=0$$ os coeficientes são $$a=3,\quad b=4,\quad c=-5,\quad d=6$$

Já na equação $$-x^{3}+7x-8=0$$ temos que $$a=-1,\quad b=0,\quad c=7,\quad d=-8$$

Resolver uma equação do 3º grau significa encontrar suas raízes (ou zeros), os quais são os valores de \(x\) que tornam a igualdade verdadeira.

Se tomarmos a equação $$x^{3}+x^{2}+x+1=0$$ temos que uma de suas raízes vale \(-1\), pois $$(-1)^{3}+(-1)^{2}+(-1)+1=-1+1-1+1=0$$

É importante ressaltar que uma equação do 3º grau tem sempre, no máximo 3 raízes distintas entre si. 

A equação $$x^{3}-3x^{2}+3x-1=0$$ tem como única raiz o número \(x=1\). Deste modo, dizemos que a multiplicidade da raiz é 3 pois, de certo modo, ela “ocupa” o espaço das três possíveis raízes da equação.

Já na equação $$x^{3}-3x+2=0$$ as suas raízes são \(x=1\), de multiplicidade 2, e \(x=-2\), de multiplicidade 1. Note que a soma das multiplicidades das raízes é igual ao grau da equação - este é um resultado válido sempre.

As Relações de Girard para uma equação do 3º grau estabelecem expressões entre as três raízes da equação e seus coeficientes.

Assim, dada uma equação do 3º grau $$ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0$$ de raízes \(r_{1},r_{2}\) e \(r_{3}\), temos que

• \(r_{1}+r_{2}+r_{3}=-\frac{b}{a}\)
• \(r_{1}\cdot r_{2}+r_{1}\cdot r_{3}+r_{2}\cdot r_{3}=\frac{c}{a}\)
• \(r_{1}\cdot r_{2}\cdot r_{3}=-\frac{d}{a}\)

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