Matemática
Equação do 3º grau: saiba como resolver
Publicado por Marcus Vinicius | Última atualização: 19/6/2025
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Índice
Introdução
Principais conclusões
- Equação do 3º grau é toda igualdade da forma ax^3+bx^2+cx+d=0, em que a, b, c e d são coeficientes reais; o termo principal eleva x ao cubo, exigindo análise das raízes (zeros) que tornam a expressão igual a zero e estudo dos coeficientes.
- Resolver uma equação do 3º grau significa encontrar suas raízes; pode-se testar valores para identificar zeros (ex.: x^3+x^2+x+1 tem raiz x=-1), há no máximo três raízes distintas e raízes repetidas têm multiplicidade cuja soma é igual ao grau.
- As relações de Girard conectam raízes e coeficientes: r1+r2+r3=-b/a, r1r2+r1r3+r2r3=c/a e r1r2r3=-d/a; além da teoria algébrica, equações cúbicas aparecem em aplicações práticas, como cálculos de potência em circuitos elétricos.
- Em provas como o Enem, erros comuns são confundir multiplicidade com número de raízes distintas, ignorar coeficientes nulos (por exemplo b=0) e deixar de aplicar as relações de Girard; questões podem explorar ligações interdisciplinares com física e interpretação contextual.
- Dominar determinação de raízes, multiplicidade e relações entre coeficientes torna a equação cúbica uma ferramenta para resolver problemas reais e modelos científicos, sendo relevante para engenharia, física aplicada e preparo matemático exigido em avaliações como o Enem.
O que é equação de 3º grau?
Uma equação do 3º grau é toda equação do tipo $$ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0$$ onde \(a,b,c\) e \(d\) são números reais chamados de coeficientes da equação.
Por exemplo, na equação $$3x^{3}+4x^{2}-5x+6=0$$ os coeficientes são $$a=3,\quad b=4,\quad c=-5,\quad d=6$$
Já na equação $$-x^{3}+7x-8=0$$ temos que $$a=-1,\quad b=0,\quad c=7,\quad d=-8$$
Como resolver uma equação do 3° grau?
Resolver uma equação do 3º grau significa encontrar suas raízes (ou zeros), os quais são os valores de \(x\) que tornam a igualdade verdadeira.
Se tomarmos a equação $$x^{3}+x^{2}+x+1=0$$ temos que uma de suas raízes vale \(-1\), pois $$(-1)^{3}+(-1)^{2}+(-1)+1=-1+1-1+1=0$$
É importante ressaltar que uma equação do 3º grau tem sempre, no máximo 3 raízes distintas entre si.
A equação $$x^{3}-3x^{2}+3x-1=0$$ tem como única raiz o número \(x=1\). Deste modo, dizemos que a multiplicidade da raiz é 3 pois, de certo modo, ela “ocupa” o espaço das três possíveis raízes da equação.
Já na equação $$x^{3}-3x+2=0$$ as suas raízes são \(x=1\), de multiplicidade 2, e \(x=-2\), de multiplicidade 1. Note que a soma das multiplicidades das raízes é igual ao grau da equação - este é um resultado válido sempre.
Saiba mais:
Fração: o que é, exemplos, tipos e operações
Equação do 1º grau
Relações de Girard
As Relações de Girard para uma equação do 3º grau estabelecem expressões entre as três raízes da equação e seus coeficientes.
Assim, dada uma equação do 3º grau $$ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0$$ de raízes \(r_{1},r_{2}\) e \(r_{3}\), temos que
- \(r_{1}+r_{2}+r_{3}=-\frac{b}{a}\)
- \(r_{1}\cdot r_{2}+r_{1}\cdot r_{3}+r_{2}\cdot r_{3}=\frac{c}{a}\)
- \(r_{1}\cdot r_{2}\cdot r_{3}=-\frac{d}{a}\)
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Fórmulas da Equação do 3° grau
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Revisado por: Ferdinando Caíque Genghini Dantas Lobo
Formado em Matemática pela Universidade Estadual de Campinas (Unicamp), com mestrado na área pela Profmat - Unicamp. Atua como professor de Matemática desde 2012, nos colégios Asther (Campinas-SP) e Villa Lobos (Amparo-SP).
Exercício de fixação
Exercícios sobre Equação do 3º grau: saiba como resolver para vestibular
UEL
Uma das raízes do polinômio \(x^{3}+2x^{2}-7x-2\) é 2. O produto das outras raízes é:
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