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Matemática

Equação do 3º grau

Marcus Vinicius
Publicado por Marcus Vinicius
Última atualização: 2/5/2019

Introdução

Uma equação do 3º grau é toda equação do tipo

$$ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0$$

onde \(a,b,c\) e \(d\) são números reais chamados de coeficientes da equação. 

Por exemplo, na equação

$$3x^{3}+4x^{2}-5x+6=0$$

os coeficientes são

$$a=3,\quad b=4,\quad c=-5,\quad d=6$$

Já na equação

$$-x^{3}+7x-8=0$$

temos que

$$a=-1,\quad b=0,\quad c=7,\quad d=-8$$

Resolver uma equação do 3º grau significa encontrar suas raízes (ou zeros), os quais são os valores de \(x\) que tornam a igualdade verdadeira.

Se tomarmos a equação 

$$x^{3}+x^{2}+x+1=0$$

temos que uma de suas raízes vale \(-1\), pois

$$(-1)^{3}+(-1)^{2}+(-1)+1=-1+1-1+1=0$$

É importante ressaltar que uma equação do 3º grau tem sempre, no máximo 3 raízes distintas entre si. 

A equação 

$$x^{3}-3x^{2}+3x-1=0$$

tem como única raiz o número \(x=1\). Deste modo, dizemos que a multiplicidade da raiz é 3 pois, de certo modo, ela “ocupa” o espaço das três possíveis raízes da equação.

Já na equação

$$x^{3}-3x+2=0$$

as suas raízes são \(x=1\), de multiplicidade 2, e \(x=-2\), de multiplicidade 1. Note que a soma das multiplicidades das raízes é igual ao grau da equação - este é um resultado válido sempre.

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Relações de Girard

As Relações de Girard para uma equação do 3º grau estabelecem expressões entre as três raízes da equação e seus coeficientes.

Assim, dada uma equação do 3º grau

$$ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0$$

de raízes \(r_{1},r_{2}\) e \(r_{3}\), temos que

  • \(r_{1}+r_{2}+r_{3}=-\frac{b}{a}\)
  • \(r_{1}\cdot r_{2}+r_{1}\cdot r_{3}+r_{2}\cdot r_{3}=\frac{c}{a}\)
  • \(r_{1}\cdot r_{2}\cdot r_{3}=-\frac{d}{a}\)

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Fórmulas


Exercícios

Exercício 1
(UEL)

Uma das raízes do polinômio \(x^{3}+2x^{2}-7x-2\) é 2. O produto das outras raízes é:

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