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Matemática

Combinação

Marcus Vinicius
Publicado por Marcus Vinicius
Última atualização: 9/1/2019

Introdução

Neste texto, veremos as combinações de “n” elementos, tomados “p” a “p” de algum conjunto. Ok, mas como assim?

Diferente dos demais conteúdos na matemática, a análise combinatória (conteúdo cujo tema combinação está envolvido) não possui praticamente nada de teoria para ser lida. O estudo dessa matéria se dá através de muitos exemplos e esforço por parte do aluno para entender como funciona a mecânica dos exercícios. 

Dessa forma, papel e lápis na mão porque esse texto está cheio de exemplo e exercício para te ajudar, beleza?!

Fórmula da combinação

De maneira geral, indicamos o número de combinações simples de n elementos tomados “p” a “p” da seguinte maneira:

O mais importante a saber aqui é que a ordem não importa na combinação. Cuidado para não confundir com o arranjo, onde a ordem importa. Essa é a principal característica deste artifício e não pode ser esquecido de forma alguma! 

Isso significa que a ordem como os elementos são colocados nos problemas não tem importância na solução deste problema. Fique tranquilo, com os exemplos a ideia ficará mais clara. Assim, sem mais delongas, vamos a eles!

Exemplos

1.

Quantos times de futebol de salão podemos formar utilizando 8 pessoas?

Solução: sabendo que um time de futebol de salão é composto por 5 jogadores, temos 8 elementos tomados 5 a 5 (8 pessoas que podem ser combinadas 5 de cada vez). Repare que a ordem dos jogadores não altera o problema, pois se você escolher o jogador 1 e depois o jogador 2 ou o jogador 2 e depois o jogador 1, o time continuará sendo o mesmo. Assim, a ordem não importa. Dessa forma, aplicando a fórmula, temos:

2.

Em uma assembleia há 57 homens e 31 mulheres. Quantas comissões de 8 pessoas podemos formar, sendo 5 mulheres e 3 homens?

Solução: neste exercício, vamos calcular a combinação para as mulheres e para os homens separadamente, para depois multiplicá-las, determinando todas as combinações possíveis. 

Note, novamente, que a ordem não é relevante no exercício. Assim, para as mulheres:

Já para os homens:

Dessa forma, no total, temos:

3.

Quantas diagonais tem um polígono regular?

Solução: sabemos que o polígono tem “n” vértices (\(A_1\), \(A_2\),..., An). Nota-se que cada diagonal é traçada através de um par não ordenado (ou seja, não subsequente) de dois vértices (, por exemplo). 


Nesse sentido, vamos combinar todos os vértices, dois a dois, formando todos os segmentos possíveis (ou seja, diagonais e lados). Sabemos que existem “n” lados (já que não sabemos a quantidade de lados do polígono), assim:

Como queremos apenas o número de diagonais “d”, precisamos subtrair deste valor o número de lados do polígono (ou seja, subtrair “n”, já que o polígono tem “n” lados):

4.

Calcule o valor de p sabendo que

Solução: vamos calcular separadamente para depois finalizar o cálculo:

A combinação no dia a dia

A análise combinatória é extensamente aplicada atualmente. O ramo da genética na biologia a utiliza como ferramenta essencial para estudar os possíveis genótipos e fenótipos que podem se manifestar. 

Para engenheiros da computação, o desenvolvimento de senhas e códigos depende de forma crucial da análise combinatória e, por consequência, da combinação. No geral, o estudo das possibilidades está em tudo no nosso cotidiano!

Fórmulas


Exercícios

Exercício 1
(ENEM/2016 - adaptado)

O tênis é um esporte em que a estratégia de jogo a ser adotada depende, entre outros fatores, de o adversário ser canhoto ou destro. Um clube tem um grupo de 10 tenistas, sendo que 4 são canhotos e 6 são destros. O técnico do clube deseja realizar uma partida de exibição entre dois desses jogadores, porém, não poderão ser ambos canhotos. Qual o número de possibilidades de escolha dos tenistas para a partida de exibição?

Ilustração: Rapaz corpulento de camiseta, short e tênis acenando

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