Combinação na matemática: a combinação simples e fórmula

Neste texto, veremos as combinações de “n” elementos, tomados “p” a “p” de algum conjunto. Ok, mas como assim?

Diferente dos demais conteúdos na matemática, a análise combinatória (conteúdo cujo tema combinação está envolvido) apresenta pouca teoria para ser lida. O estudo dessa matéria se dá por meio de muitos exemplos e esforço por parte do aluno para entender como funciona a mecânica dos exercícios. 

Dessa forma, papel e lápis na mão, porque este texto está cheio de exemplos e exercícios para te ajudar, beleza?

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De maneira geral, indicamos o número de combinações simples de "n" elementos tomados “p” a “p” da seguinte maneira:

O mais importante a saber aqui é que a ordem da escolha dos elementos não importa na combinação. Cuidado para não confundir com o arranjo, em que a ordem da escolha dos elementos importa, ou ainda com a permutação, em que estamos procurando trocar os termos de uma sequência de posição. A ordem da escolha dos elementos não ser importante é a principal característica desse artifício e não pode ser esquecida de forma alguma!

Vamos a uma situação simples para podermos comparar e entender a diferença entre um arranjo e uma combinação.

Imagine uma turma com 20 alunos, dos quais 3 serão escolhidos para formarem uma comissão de formatura. Nesta comissão, não há nenhuma distinção entre os cargos, ou seja, a ordem da escolha dos três alunos não importa! Suponha que sejam escolhidos João, Maria e Aline. Se fossem escolhidos Aline, Maria e João não seria a mesma comissão? Neste caso, temos um problema de combinação.

Agora imagine que estes mesmos 20 alunos participarão de uma corrida que premiará os 3 primeiros colocados, com prêmios diferentes para cada um. Neste caso, a ordem com que escolhemos os 3 alunos importa! Se tivermos a premiação de 1º, 2º e 3º colocados para João, Maria e Aline, respectivamente, é diferente de premiar Aline, Maria e João nesta ordem. Assim, temos um problema de arranjo.

Do ponto de vista mais formal, uma combinação tem a característica de conjunto numérico {a, b, c} é o mesmo conjunto que {b, c, a}, por exemplo. Já um arranjo carrega em si a ideia de sequência numérica (a, b, c) é diferente de (b, c, a), por exemplo.

Isso significa que a ordem como os elementos são colocados nos problemas de combinação não interfere na solução desses problemas. Fique tranquilo, com os exemplos, a ideia ficará mais clara. Assim, sem mais delongas, vamos a eles!

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O número “n” se refere ao número de elementos do conjunto todo do qual se deseja escolher os “p” elementos. Aqui estão alguns exemplos para te ajudar a aplicar a fórmula da combinação:

Exemplo 1

O jogo de futebol de salão é disputado em equipes de 5 jogadores. Supondo que em um grupo de 8 pessoas, todos podem jogar em qualquer posição, quantos times de futebol de salão podemos formar com elas?

Solução: sabendo que um time de futebol de salão é composto por 5 jogadores, temos 8 elementos tomados 5 a 5 (8 pessoas que podem ser combinadas 5 de cada vez). Repare que a ordem dos jogadores não altera o problema, pois se você escolher o jogador 1 e depois o jogador 2, ou o jogador 2 e depois o jogador 1, o time continuará sendo o mesmo. Assim, a ordem não importa. Dessa forma, aplicando a fórmula da combinação, temos:

Exemplo 2

Em uma assembleia, há 12 homens e 10 mulheres. Quantas comissões de 8 pessoas podemos formar, sendo 5 homens e 3 mulheres?

Solução: neste exercício, vamos calcular a combinação para as mulheres e para os homens separadamente, para depois multiplicá-las, determinando todas as combinações possíveis. 

Note, novamente, que a ordem não é relevante no exercício. Assim, vamos formar um grupo com 5 homens dentre os 12 disponíveis:

Vemos, portanto, que há 792 maneiras de se fazer isso. Já para as mulheres, precisamos escolher 3 num grupo de 10. Fazemos:

Dessa forma, no total, temos 792 x 120 = 95.040 comissões que podem ser formadas.

Exemplo 3

Quantas diagonais tem um polígono regular de n lados?

Solução: sabemos que o polígono tem “n” vértices (A1, A2,..., An). Nota-se que cada diagonal é traçada por meio de um par não ordenado (ou seja, não subsequente) de dois vértices (, por exemplo). 

Nesse sentido, vamos combinar todos os vértices, dois a dois, formando todos os segmentos possíveis (ou seja, diagonais e lados). Sabemos que existem “n” lados (já que não sabemos a quantidade de lados do polígono), assim:

Como queremos apenas o número de diagonais “d”, precisamos subtrair desse valor o número de lados do polígono (ou seja, subtrair “n”, já que o polígono tem “n” lados):

Exemplo 4

Calcule o valor de "p" sabendo que 

Solução: vamos calcular separadamente, para depois finalizar o cálculo:

Nos exemplos que vimos anteriormente, tivemos sempre a escolha de elementos distintos para a formação do novo conjunto. Mas e se tivéssemos a possibilidade de ter elementos repetidos na hora de escolher os elementos?

Pense no seguinte exemplo, você está numa sorveteria e há 4 sabores de sorvete (A - abacaxi, B - baunilha, C - chocolate, D - damasco) para você escolher 2 bolas. Primeiramente, vamos pensar na escolha de sabores distintos. Como a ordem da escolha dos sabores não importa, o total de combinações podem ser encontradas por meio de uma combinação simples:

São elas: AB, AC, AD, BC, BD e CD.

Mas e se os sabores pudessem ser repetidos? Como contar o total de possibilidades? Vamos primeiro listar as possibilidades e depois verificar a fórmula.

Combinações possíveis com repetição: AA, AB, AC, AD, BB, BC, BD, CC, CD, DD (10 no total).

Neste caso, podemos usar a fórmula da combinação com repetição (ou combinação completa):

Nesta fórmula, CR denomina a combinação com repetição, “n” é o total de elementos agrupados de “p” em “p”, podendo haver repetição. No nosso exemplo do sorvete teríamos o seguinte:

Sendo assim, teríamos 10 combinações possíveis com repetição, enquanto as combinações simples seriam apenas 6.

A análise combinatória é extensamente aplicada atualmente. O ramo da genética na biologia a utiliza como ferramenta essencial para estudar os possíveis genótipos e fenótipos que podem se manifestar. 

Para a engenharia da computação, o desenvolvimento de senhas e códigos depende de forma crucial da análise combinatória e, por consequência, da combinação. No geral, o estudo das possibilidades está em tudo no nosso cotidiano!

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Revisado por: Ferdinando Caíque Genghini Dantas Lobo

Formado em Matemática pela Universidade Estadual de Campinas (Unicamp), com mestrado na área pela Profmat - Unicamp. Atua como professor de Matemática desde 2012, nos colégios Asther (Campinas-SP) e Villa Lobos (Amparo-SP).

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