Equações e inequações trigonométricas: veja funções e fórmulas

Equações trigonométricas são igualdades envolvendo razões trigonométricas com uma incógnita angular. Comumente, transforma-se esse ângulo em um arco, e sua medida é expressa em radianos, permitindo a solução da equação.

Já as inequações trigonométricas são desigualdades com ao menos uma razão trigonométrica contendo um ângulo incógnito. A solução é um conjunto de ângulos, tipicamente expressos como arcos em radianos.

As equações trigonométricas vão desde as mais simples até as mais complexas, mas todas elas podem ser reduzidas a equações trigonométricas que chamamos de equações fundamentais:

• $$ \sin(x)=\sin(a)$$
• $$ \cos(x)=\cos(a)$$
• $$ \tan(x)=\tan(a)$$

Para sair de uma equação trigonométrica mais complexa e chegar às equações fundamentais, devemos fazer o uso de fórmulas trigonométricas, tais como a relação fundamental da trigonometria:

$$ \sin^{2}(a)+\cos^{2}(a)=1$$

Há relações secundárias, além da soma e diferença de dois arcos, e também as fórmulas que envolvem arco duplo.

Mas, em geral, a fim de se obter uma equação fundamental, o ideal é sempre tentar reescrever a equação a ser solucionada usando apenas o seno ou o cosseno da incógnita que queremos determinar.

O círculo trigonométrico é uma circunferência de raio 1 e centrada na origem. Isto é, o seu centro coincide com o centro do plano cartesiano, ou seja, \( C(0,0)\):

Se \( a\) for a medida de um ângulo no círculo trigonométrico, então o valor do \( \sin(a)\) corresponde à ordenada do ponto determinado por \( a\):

Já o valor de \(\cos(a)\) equivale à abscissa do ponto determinado pelo ângulo \( a\):

E, por fim, a \( \tan(a)\) é o tamanho do segmento \( AT\) indicado abaixo, onde \( T\) é o ponto de encontro entre a reta \( t\) e o prolongamento do segmento \( \bar{OP}\):

A partir disso, podemos encontrar as soluções das equações fundamentais:

• Para \( \sin(x)=\sin(a)\), temos que os arcos \( x\) e \( a\) terão o mesmo valor do seno se:

$$ x=a+2k\pi$$

ou

$$ x=\pi-a+2k\pi$$

• Para \( \cos(x)=\cos(a)\), temos que os arcos \( x\) e \( a\) terão o mesmo valor do cosseno se:

$$ x=a+2k\pi$$

ou

$$ x=-a+2k\pi$$

ou seja, se

$$ x=\pm a+2k\pi$$

• Para \( \tan(x)=\tan(a)\), temos que os arcos \( x\) e \( a\) terão o mesmo valor da tangente se:

$$ x=a+2k\pi$$

ou

$$ x=\pi+a+2k\pi$$

de onde se conclui que

$$ x=a+k\pi$$

O termo \( 2k\pi\) indica que, a partir do ponto \( P\) que determina o arco \( a\), damos \( k\) voltas em torno de \( P\). Pois, evidentemente, tais arcos possuem o mesmo valor das suas funções trigonométricas.

Uma inequação, ao contrário de uma equação, envolve uma desigualdade entre duas sentenças, onde devemos encontrar para quais valores da incógnita em questão a desigualdade é satisfeita.

Tal desigualdade pode ser: \( >\) (maior), \( <\) (menor), \( \geq\) (maior ou igual) ou \( \leq\) (menor ou igual).

Inequações trigonométricas

Uma inequação trigonométrica é aquela envolvendo, ao menos, uma função trigonométrica da incógnita.

Assim como nas equações trigonométricas, existem seis inequações trigonométricas fundamentais, que são:

• $$ \sin(x)\geq m$$
• $$ \sin(x)\leq m$$
• $$ \cos(x)\geq m$$
• $$ \cos(x)\leq m$$
• $$ \tan(x)\geq m$$
• $$ \tan(x)\leq m$$

Evidentemente, podemos trocar acima \( \geq\) por \( >\) e \( \leq\) por \(<\).

• \( \sin(x)\geq m\): a partir do eixo \( y\) (que corresponde aos valores dos senos dos ângulos), concluímos a partir da análise que se \( m=\sin(a)\), onde \( a\) é um arco do primeiro quadrante, então

$$ a\leq x\leq\pi-a$$

E em um caso mais geral:

$$ a+2k\pi\leq x\leq\pi-a+2k\pi$$

• \( \sin(x)\leq m\): usando a mesma análise anterior, se \( m=\sin(a)\), então

$$ 0\leq x\leq a\quad\text{ou}\quad \pi-a\leq x\leq2\pi$$
 

Generalizando:

$$ 0+2k\pi\leq x<a+2k\pi\quad\text{ou}\quad \pi-a+2k\pi<x\leq2\pi+2k\pi$$

• \( \cos(x)\geq m\): tomando o eixo \( x\) (o qual corresponde aos valores dos cossenos dos ângulos), podemos concluir que sendo \( m=\cos(a)\), com \( a\) um arco do primeiro quadrante, então

            $$0\leq x\leq a\quad\text{ou}\quad 2\pi-a\leq x\leq2\pi$$
 

Para um caso mais geral:

            $$0+2k\pi\leq x\leq a+2k\pi\quad\text{ou}\quad 2\pi-a+2k\pi\leq x\leq2\pi+2k\pi$$

• \( \cos(x)\leq m\): da mesma análise feita acima, temos que

$$ a\leq x\leq2\pi-a$$
 

e estendendo para números reais:

$$ a+2k\pi\leq x\leq2\pi-a+2k\pi$$

• \( \tan(x)\geq m\): considerando a reta \( t\) tangente ao círculo trigonométrico no ponto \( (1,0)\) e sendo \( \tan(m)=a\), então

$$ a\leq x<\frac{\pi}{2}\quad\text{ou}\quad a+\pi\leq x<\frac{3\pi}{2}$$
 

E no conjunto dos números reais, a solução seria:

$$ a+2k\pi\leq x<\frac{\pi}{2}+2k\pi \quad \text{ou} \quad a+\pi+2k\pi\leq x<\frac{3\pi}{2}+2k\pi$$

• \( \tan(x)\leq m\): e, do mesmo modo, a partir da reta \( t\) que corresponde aos valores das tangentes dos ângulos, obtemos:

$$ 0\leq x\leq a\quad\text{ou}\quad \frac{\pi}{2}<x\leq a+\pi\quad\text{ou}\quad \frac{3\pi}{2}<x\leq2\pi$$

Generalizando:

$$ 0+2k\pi\leq x\leq a+2k\pi \quad\text{ou} \quad \frac{\pi}{2}+2k\pi<x\leq a+\pi+2k\pi\quad\text{ou}\quad \frac{3\pi}{2}+2k\pi<x\leq2\pi+2k\pi$$

A diferença fundamental entre equações e inequações reside na natureza das relações matemáticas que elas expressam e nas soluções que admitem:

• Equação: Uma equação é uma igualdade que relaciona duas expressões matemáticas. Ela estabelece que o valor da expressão de um lado do sinal de igualdade (=) é exatamente igual ao valor da expressão do outro lado. O objetivo ao resolver uma equação é encontrar o valor ou os valores (no caso de equações com múltiplas soluções) das variáveis que tornam a igualdade verdadeira. Equações podem ser simples ou complexas, variando desde equações lineares com uma única solução até equações polinomiais com várias soluções.

• Inequação: Uma inequação, por outro lado, é uma desigualdade que compara duas expressões matemáticas. Em vez de igualdade, uma inequação usa um dos seguintes sinais de desigualdade: maior que (>), menor que (<), maior ou igual a (≥), ou menor ou igual a (≤). O objetivo ao resolver inequações é encontrar o conjunto de valores das variáveis que tornam a desigualdade verdadeira. As soluções de inequações são frequentemente expressas em termos de intervalos ou conjuntos de valores, em vez de valores específicos.

Veja a seguir exemplos práticos de como funciona a equação e a inequação:

Exemplo de Equação

Equação Linear: $2x+3=7$

Para resolver esta equação, buscamos o valor de $x$ que torna a igualdade verdadeira: $2x=7-3$ $2x=4$ $x=2$

Solução: O valor de $x$ que satisfaz a equação é 2.

Exemplo de Inequação

Inequação Linear: $2x+3>7$

Aqui, estamos interessados nos valores de $x$ que tornam a desigualdade verdadeira: $2x>7-3$ $2x>4$ $x>2$

Solução: Qualquer valor de $x$ maior que 2 satisfaz a inequação. A solução pode ser expressa como um intervalo: $x\in (2,\infty )$.

Estes exemplos destacam a diferença fundamental nas soluções: uma equação tem soluções específicas (neste caso, um valor único para $x$), enquanto uma inequação define um conjunto de soluções (neste exemplo, um intervalo de valores para $x$).

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